微分と導関数

連続関数$f(x)$に関して、$x$が$a$から$b$まで変化したときの$f(x)$の変化の 割合

$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

を$f(x)$の区間$a\le x\le b$での平均変化率と呼ぶ。 また、$b\to a$での極限値を$f(x)$の$x=a$での微分と呼ぶ：

$$\lim_{b\to a}\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

$a$が変化すると、それに伴い上式も変化するので、微分は$a$の関数となる。 そこで、$a$を$x$をで置き換え、$b$を$x+h$と置き換えて、

$$f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$ (1)

と表す。この$f(x)$を$x$について微分して得られる関数$f'(x)$を$f(x)$の導関 数と呼ぶ。$f'(x)$は$\frac{df}{dx}$と書き表すこともある。

$$\begin{eqnarray*} f'(x) &=&\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ &=& \lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta f}{\Delta x} \end{eqnarray*}$$