三角関数

$$\lim_{h\to0}\frac{\sin x}{x}\to 1$$ (8)

$$\{\sin x\}' = \cos x$$ (9)

$$\{\cos x\}' = -\sin x$$ (10)

$$\{\tan x\}' = \frac{1}{\{\cos x\}^2}$$ (11)

$$\begin{eqnarray*} \lefteqn{ \frac{\sin(x+h)-\sin x}{h} } \\ &=& \sin x \cdot\frac{\cos h-1}{h} +\cos x\cdot\frac{\sin h}{h} \end{eqnarray*}$$

ここで、

$$\begin{eqnarray*} \frac{1-\cos h}{h} &=& \frac{2\sin^2\frac{h}{2}}{h} \\ &... ...o& 0,\qquad(h\to0) \\ \frac{\sin h}{h} &\to& 1,\qquad(h\to0) \end{eqnarray*}$$

よって、

$$\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h}\to\cos x,\quad(h\to0)$$