指数関数

自然対数の底:

$$\begin{eqnarray*} e &=& \lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^n \\ &=& \lim_{h\to0}(1+h)^{1/h} \\ &=& 2.71828\cdots \end{eqnarray*}$$

$$\{e^{ax}\}' = a e^{ax}$$ (12)

$$\begin{eqnarray*} \lefteqn{\frac{e^{x+h}-e^{x}}{h}} \\ &=& \frac{e^{h}-1}{h}\cdot e^{x} \end{eqnarray*}$$

ここで、

$$\frac{e^h-1}{h}=C$$

と置くと、

$$e^h = 1+Ch$$

$Ch=t$と置き換えると、

$$\begin{eqnarray*} e &=& (1+Ch)^{1/h}\\ &=& \left\{(1+t)^{1/t}\right\}^C\\ &\to& e^C,\quad(t\to0) \end{eqnarray*}$$

したがって、

$$C\to1,\quad(h\to0)$$

以上より、

$$\frac{e^{x+h}-e^h}{h}\to e^x,\quad(h\to0)$$