逆関数の微分

$$y=f(x)$$

を$x$について解き、$x$を$y$の関数としたのを$f(x)$の逆関数と呼び、

$$x = f^{-1}(y)$$

と表す³。

逆関数の微分は次のような関係を満足する。

$$\begin{eqnarray*} \frac{df^{-1}(y)}{dy} &=& \frac{dx}{dy}\\ &=&\frac{1}{\frac{dy}{dx}}\\ &=&\frac{1}{f'(x)} \end{eqnarray*}$$

[例1] 対数関数の微分

$$y=e^x\quad\Leftrightarrow\quad x=\log y$$

$$\begin{eqnarray*} \frac{d \log y}{dy}&=& \frac{1}{(e^x)'} = \frac{1}{e^x} = \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$$

[例2] 逆関数の微分($\sin^{-1}x$) ⁴

$$\begin{eqnarray*} y&=&\sin^{-1}x\\ x&=&\sin y\\ \frac{dx}{dy}&=& \left(\sin... ...=&\frac{1}{\pm\sqrt{1-\sin^2y}}\\ &=&\pm\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \end{eqnarray*}$$