$$\frac{dy}{dx}+\frac{y}{x}=e^{-x}$$

1階線形微分方程式

余関数

$$\frac{dy_c}{dx}+\frac{y_c}{x}=0$$

$$\frac{dy_c}{y_c}=-\frac{dx}{x}$$

と変形できるので

$$\int\frac{dy_c}{y_c}=-\int\frac{dx}{x}$$

$$\log y_c = -\log x+C$$

$$\begin{eqnarray*} y_c&=& e^{-\log x+C}\\ &=& e^{C}e^{-\log x}\\ &=& \frac{A}{x} \end{eqnarray*}$$

定数変化法

$$y = \frac{u(x)}{x}$$

と置いて、元の方程式へ代入する：

$$\frac{xu'(x)-x'u(x)}{x^2}+\frac{1}{x}\times\frac{u(x)}{x}=e^{-x}$$

$$\begin{eqnarray*} u'(x)&=& xe^{-x}\\ u(x)&=&\int xe^{-x}dx \end{eqnarray*}$$

部分積分により、

$$\begin{eqnarray*} u(x)&=&\int\underbrace{x}_{f}\times\underbrace{e^{-x}}_{g'}dx... ...}+\int e^{-x}dx\\ &=& -xe^{-x}-e^{-x}+C\\ &=& -(x+1)e^{-x}+C \end{eqnarray*}$$

したがって、

$$y=\frac{u(x)}{x}=\frac{C-(x+1)e^{-x}}{x}$$