別解

$$\frac{dy}{dx}+\frac{y}{x}=e^{-x}$$

1階線形微分方程式

$$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$$

の解の公式

$$y=e^{-\int P(x)dx}\left\{\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C\right\}$$

に対して、

$$P(x)=\frac{1}{x},\qquad Q(x)=e^{-x}$$

と置く。

$$\begin{eqnarray*} \int P(x)dx&=& \int\frac{1}{x}dx\\ &=& \log x\\ e^{-\int ... ... \int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx &=& \int e^{-x}\times e^{\log x}dx \end{eqnarray*}$$

部分積分により、

$$\begin{eqnarray*} \int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx &=& \int e^{-x}xdx\\ &=& -e^{-x}x+\int e^{-x}x'dx\\ &=& -e^{-x}x-e^{-x}\\ &=& -e^{-x}(x+1) \end{eqnarray*}$$

であるから、

$$y=\frac{1}{x}\left\{-e^{-x}(x+1)+C\right\}$$