解説

- 非同次1階線形部分方程式の解法

$$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$$

1. 補助方程式(同次方程式)
   
   $$\frac{dy_c}{dx}+P(x)y_c=0$$
   
   
   を解いて余関数($y_c$)を求める。
2. 余関数に含まれる積分定数を未知関数($u(x)$)で置き換え 元の方程式(同次型)に代入すると、 $u(x)$についての微分方程式が得られる。 (定数変化法)
3. 上の結果として、未知関数に対する導関数($u'(x)$)が求まるので、 これを積分して$u(x)$を決定する。

余関数

$$\frac{dy_c}{dx}+P(x)y_c=0$$

を変形して、

$$\frac{1}{y_c}\frac{dy_c}{dx}=-P(x)$$

両辺をxで積分すると、左辺はyについての積分に変換できるので、

$$\int\frac{1}{y_c}\frac{dy_c}{dx}dx=-\int P(x)dx$$

$$\int\frac{1}{y_c}dy_c=-\int P(x)dx$$

$$\log y_c = -\int P(x)dx+C$$

対数関数と指数関数の関係から、

$$\begin{eqnarray*} y_c &=& e^{C-\int P(x)dx}\\ &=& e^C\times e^{-\int P(x)dx}\\ &=&Ae^{-\int P(x)dx} \end{eqnarray*}$$

定数変化法

$y_c$の積分定数を$u(x)$と置き換えて、元の微分方程式(非同次型)の解を

$$y = u(x)e^{-\int P(x)dx}= u(x)e^{F(x)},\qquad(F(x)=-\int P(x)dx)$$

と表されると仮定し、非同次微分方程式に代入して整理する。 ただし、

$$\left\{u e^{F(x)}\right\}'+P(x)\times ue^{F(x)} =Q(x)$$

$$\left\{u'e^{F(x)}+uF'(x)e^{F(x)}\right\} +P(x)ue^{F(x)}=Q(x)$$

ここで、

$$\begin{eqnarray*} F'(x)&=&\frac{d}{dx}\left\{-\int P(x)dx\right\}\\ &=& -P(x) \end{eqnarray*}$$

であるから、左辺の第2項と第3項は互いにキャンセルする。 したがって、

$$u' e^{F(x)}=Q(x)$$

$$\begin{eqnarray*} u'&=& Q(x)e^{-F(x)}\\ u&=& \int Q(x)e^{-F(x)}dx+C\\ &=&\int Q(x)e^{\int P(x)dx}+C \end{eqnarray*}$$

以上より、解は

$$y=ue^{-\int P(x)dx} =e^{-\int P(x)dx}\left\{Q(x)e^{\int P(x)dx}+C\right\}$$