誤り例

$$\frac{dy}{dx}=2xy$$

$$\frac{1}{y}dy=2xdx$$

両辺を積分して

$$\begin{eqnarray*} \int\frac{dy}{y}&=&\int 2xdx\\ \log y &=& x^2\qquad(\mbox{\... ... y&=& e^{x^2}+C\qquad(\mbox{\small 最後に積分定数を付け加えた}) \end{eqnarray*}$$

以上は誤り。

これをもとの方程式に代入すると、

$$\begin{eqnarray*} \mbox{左辺}&=& 2xe^{x^2}\\ \mbox{右辺}&=& 2x(e^{x^2}+C) \end{eqnarray*}$$

確かに、微分方程式を満足しない。

正解は、

$$\begin{eqnarray*} \int\frac{dy}{y}&=&\int2xdx\\ \log y&=& x^2+C\\ y&=&e^{C+x^2}\ =\ e^Ce^{x^2}\ =\ Ae^{x^2}. \end{eqnarray*}$$

もとの方程式に代入すると、

$$\begin{eqnarray*} \mbox{左辺}&=&2x Ae^{x^2}\ =\ \mbox{右辺} \end{eqnarray*}$$

であり、微分方程式を満足する。