13 演習問題

問-1.

測定と計測の違いを説明せよ。

Ans. 測定とは、ものの大きさや量が、単位量の何倍になるかを求めること。

計測とは、測定結果を情報として利用できるようにすること。

問-2.

直接測定法と間接測定法の違いを実例を挙げてのべよ.

(解答) セクション1.2.1を見よ.

問-3.

変位法、補償法、ゼロ位法について述べよ。

問-4.

5.0 V の電圧を3種類の電圧計で5回ずつ測定したら、表のようになった。 以下の問に答えよ。

						平均	標準偏差
電圧計 A (V)	4.5	4.8	4.7	5.0	4.5
電圧計 B (V)	5.5	5.0	4.8	4.7	5.3
電圧計 C (V)	5.5	5.4	5.4	5.3	5.6

1. それぞれの平均と標準偏差を求め、表を完成させよ。
2. 最も精度(精密さ)の良い測定はどの電圧計で行なった場合か。理由も説明せよ。
3. 確度の一番高いのはどの測定か。理由も説明せよ。
4. 系統誤差の一番大きいのはどれか。理由も説明せよ。

(解答)

1. それぞれの平均値を$av_1$, $av_2$, $av_3$とすると、
   
   $$av_1 = \frac{4.5 + 4.8 + 4.7 + 5.0 + 4.5}{5} = 4.70 \simeq 4.7$$
   
   
   
   
   $$av_2 = \frac{5.5 + 5.0 + 4.8 + 4.7 + 5.3}{5}=5.06 \simeq 5.1$$
   
   
   
   
   $$av_3 = \frac{5.5 + 5.4 + 5.4 + 5.3 + 5.6}{5} = 5.44 \simeq 5.4$$
   
   
   となる。

   また、それぞれの分散を$\sigma_1^2$, $\sigma_2^2$, $\sigma_3^2$とすると、
   

   $$\sigma_1^2 = \frac{(av_1 - 4.5)^2 + (av_1 - 4.8)^2 + (av_1 - 4.7)^2 + (av_1 - 5.0)^2 + (av_1 - 4.5)^2}{(5 - 1)} = 0.045$$
   
   
   
   
   $$\sigma_2^2 = \frac{(av_2 - 5.5)^2 + (av_2 - 5.0)^2 + (av_2 - 4.8)^2 + (av_2 - 4.7)^2 + (av_2 - 5.3)^2}{(5 - 1)} = 0.113$$
   
   
   
   
   $$\sigma_3^2 = \frac{(av_3 - 5.5)^2 + (av_3 - 5.4)^2 + (av_3 - 5.4)^2 + (av_3 - 5.3)^2 + (av_3 - 5.6)^2}{(5 - 1)} = 0.013$$
   
   
   従って、それぞれのルートを計算し、
   
   $$\sigma_1 = \sqrt{0.045} = 0.2121$$
   
   
   
   
   $$\sigma_2 = \sqrt{0.113} = 0.3361$$
   
   
   
   
   $$\sigma_3 = \sqrt{0.013} = 0.114$$
   
   

   求めると下表の通り
   

   						平均	標準偏差	分散(参考)
   電圧計 A (V)	4.5	4.8	4.7	5.0	4.5	4.7	0.21	0.045
   電圧計 B (V)	5.5	5.0	4.8	4.7	5.3	5.1	0.34	0.11
   電圧計 C (V)	5.5	5.4	5.4	5.3	5.6	5.4	0.11	0.013

   
   
2. 電圧計 C で測定した場合が、精度としては最も良い。理由は、標準偏差が一番小さく、従ってバラツキが一番小さいから。
3. 電圧計 B で測定した場合が、確度が最も高い。理由は、真の値5.0 Vに最も近いから。
4. 電圧計 C で測定した場合が、系統誤差が最も大きい。理由は、真値との差が最も大きいから。

問-5.

真の値100 V のとき、測定値が93 Vととなった。

1. 誤差
2. 誤差率
3. 補正

を求めよ。 (解答)

1. 誤差 $\epsilon = 93 - 100 = -7$ V
2. 誤差率 $=\vert\epsilon / T\vert = \vert-7 / 100\vert= 0.07$
3. 補正 $\alpha = -\epsilon = 7$ V

問-6.

ある回路に10 Vの電圧を加えたとこと、5 A の電流が流れた。 電圧値には3 %の誤差を含み、電流値には 5%の誤差を含んでいるとすると、 消費電力には、何Wの誤差を含むか。

(解答)

10 V の電圧に含む誤差は $10 \times 0.03 = 0.3$ Vであり、5 A の電圧には $5 \times 0.05=2.5$ A の誤差を含んでいる。 したがって消費電力は、

$$(10 \pm 0.3)(5 \pm 0.25) \simeq 50 \pm 4$$

したがって、誤差は4 W.

問-7.

以下の空欄を埋めよ。

観測値$y$と真値$T$との の2乗和を最小にする。 いま、$x$, $y$を測定して、以下の表が得られたとする。

表 5: $x$に対する$y$の測定結果

	1回	2回	3回	$\cdots$	n回
xの値	$x_{1}$	$x_{2}$	$x_{3}$	$\cdots$	$x_{n}$
yの値	$y_{1}$	$y_{2}$	$y_{3}$	$\cdots$	$y_{n}$

いま仮に、$x$と$y$が以下のように1次式で表すことができるとする。

$$y=ax+b$$ (133)

この式の$x$に$x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$, $\cdots$, $x_{n}$を代入して得ら れる値を $y'_{1}$, $y'_{2}$, $y'_{3}$, $\cdots$, $'_{n}$とすると、

$$\Sigma (y_{n} - y'_{n})^{2} = \Sigma \framebox[2cm]{(2)}$$ (134)

が最小になるaとbを求めれば良い。

(解答)

(1) 差

(2) $(y_{n} - (a x_{n} + b))^{2}$

問-8.

ある測定を行なったところ電圧$xに対するy$の値が表のような結果になった。$y=ax+b$ なる関係にあるとき、 $a,b$を最小２乗法を用いて求めよ。

x [V]	0	1	2	3	4
y [A]	1.0	3.0	7.0	8.0	13.0

(解答)

前問参照

問-9.

クラス2.5の電流計の10mAレンジを用いて電流を測定したところ、2mAを示 した。 この時の真の電流は、どの範囲にあるか。 また、測定値に対する誤差の割合は何%か。

(解答)

誤差は、 $10 \times 0.025=0.25$ mAであるので、真の電流値は、$2\pm 0.25$ mA の範囲にある。 また、その誤差の割合は、 $0.25/2 * 100 = 12.5$ %.

問-10.

ある電圧を、2.5級の電圧計を用い定格電圧10Vのレンジで測定したら、指 針はちょうど3Vを示した。 このとき含まれる誤差は何%か。(2.5級とクラス2.5と言うのは、同じこ と。)

(解答)

2.5級の計器の誤差は、測定しているレンジのフルスケールに対して2.5%の誤差 を有すると言うこと。 したがって、10 Vのレンジに対しては、

$$10 \times 2.5/100 = 0.25 \hspace{1em} {\rm V}$$

の誤差を有することになる。 したがって、3 V の電圧に対する誤差率は

$$0.25/3 \times 100 = 8.3 \%$$

となる。

問-11.

計測では測定をいかに行なうかと同様に測定データの意味ある数字、すなわち有効数字が重要な役割を果たす。以下の四則演算を行なって、有効桁と誤差の範囲を AAAA$\pm$BBBB の形式で示せ。

1. $3.142 + 2.53$
2. $3.142 - 2.53$
3. $3.142 \times 2.53$
4. $3.142 \div 2.53$

(解答)

1. $(3.142 \pm 0.0005) + (2.53 \pm 0.005) = (3.142 + 2.53) \pm (0.0005 + 0.005)$
   $= 5.672 \pm 0.0055 =5.67 \pm 0.006$
2. $(3.142 \pm 0.0005) - (2.53 \pm 0.005) = (3.142 - 2.53) \pm (0.0005 + 0.005)$
   $= 0.612 \pm 0.0055 = 0.61 \pm 0.006$
3. $(3.142 \pm 0.0005) \times (2.53 \pm 0.005)$
   $= (3.142 \times 2.53) \pm (3.142 \times 0.005 + 0.0005 \times 2.53 + 0.0005 \times 0.005)$
   $=7.949 \pm 0.01697 = 7.95 \pm 0.017$
4. $$\frac{3.142 \pm 0.0005}{2.53 \pm 0.005} = \frac{3.142 \left( 1 \p... ...left(1 \pm \frac{0.0005}{3.142} \right) \left( 1 \pm \frac{0.005}{2.53}\right)$$
   $= 1.2418 (1 \pm 0.00016)(1 \pm 0.00197 )$
   $\simeq 1.2418(1 \pm (0.00016 \times 1 +0.00197 \times 1 ))$
   $= 1.2418 \pm 0.002645$
   $\simeq 1.24 \pm 0.003$

問-12.

ある抵抗にかかる電圧とその抵抗に流れる電流を測定したところ、以下の表のような結果になった。四捨五入して小数点以下第１位まで求めよ。

x [V]	0.00	1.05	2.23	3.15	4.11	4.95
x の四捨五入値
y [A]	1.02	3.05	7.15	8.06	13.54	16.85
y の四捨五入値

(解答)

x [V]	0.00	1.05	2.23	3.15	4.11	4.95
x の四捨五入値	0.0	1.0	2.2	3.2	4.1	5.0
y [A]	1.02	3.05	7.15	8.06	13.54	16.85
y の四捨五入値	1.0	3.0	7.2	8.1	13.5	16.8

問-13.

以下の数値の有効けたは、全て３桁になっている。有効数字が分かるように書き直せ。

1. 325000

   
   
   

2. 0.0000123

   
   
   

3. 1210

   
   
   

4. 0.0002

問-14.

以下の数値の差を求めよ。但し、誤差の範囲を示せ。

1. 1.25 と 1.260
2. 0.860 V と $8.5 \times 10^2$ mV
3. 177.50 cm と 1.77 m

問-15.

最大出力 72 W の増幅器が, インピーダンス 8 $\Omega$ のスピーカに接 続されている. 最大電流 $I$, 最大電圧$V$を求めよ.

(解答) $I^{2}R=72$ より, I=3 A. したがって, $V =72 /3 = 24$ V.

問-16.

信号電力 $Ps=250$ mW, 雑音電力 $Pn=10$ mW のとき、SN比は、何dBか。

(解答) $10\log_{10}\frac{250}{10} = 14$ dB

問-17.

出力30Wの増幅機がインピーダンス20$\Omega$のスピーカに接続されている。 増幅機の電力利得、電圧利得がそれぞれ35dB, 45dBのとき、増幅機の入力電圧と入力電力を求めよ。

問-18.

1 mW は、dBm に直すといくらになるか。

(解答) 電力$P$を$10\log_{10}P$ [dBm]で表した単位の事である。 したがって、 1 mW は $10\log_{10}1=0$ dBm。

問-19.

下の図において、 $\sqrt{\bar{e^2}}$が雑音電圧を表し、$R$がその内部抵抗を表しているとする。また、$Z$は負荷のインピーダンスである。以下の設問答えよ。

1. $Z$で消費される電力$P_n$を求めよ。
2. 雑音電力が最大となるときの$Z$を求めよ。
3. そのときの最大雑音電力を求めよ。

(解答)

1. $Z$に流れる電流を$I$, $Z$にかかる電圧を$V_n$とおくと
   
   $$I=\frac{\sqrt{\bar{e^2}}}{R+Z}, \hspace{2em} V_n = \frac{\sqrt{\bar{e^2}}\times Z}{R+Z}$$
   
   
   したがって、消費電力$P_n$は、
   
   $$P_n= I \times V_n = \frac{\sqrt{\bar{e^2}}}{R+Z} \times \frac{\sqrt{\bar{e^2}}\times Z}{R+Z} = \frac{\bar{e^2} Z}{(R+Z)^2}$$
   
   

2. 雑音電力は、上式のとおり、$Z$の関数になっている。したがって、$Z$で微分して極小値を求めれば良い。 $P_n$を$Z$で微分すると、
   $$\begin{eqnarray*} \frac{dP_n}{dZ} &=& \bar{e^2} \frac{R-Z}{(R+Z)^3} =0 \\ Z &=& R \end{eqnarray*}$$
   
   

3. 上記の条件を$P_n$の式に代入すれば良いので、
   $$\begin{eqnarray*} P_{max}&=& \frac{\bar{e^2}R }{(R+R)^2} \\ &=& \frac{\bar{e^2}}{4R} \end{eqnarray*}$$
   
   

問-20.

有能入力雑音電力について説明せよ。

問-21.

ある装置に、1 mWの信号を入力したところ1 Wまで増幅された。

1. 電力増幅率をデシベル値で答えよ。
2. このとき入力雑音電力を測定したところ10 $\mu$Wであったが、出力雑音電力は20 mWであった。雑音指数はいくらか。

問-22.

指示電気計器の三要素を挙げそれぞれを説明せよ。

(解答)

指示電気計器の3要素には「駆動装置」、「制御装置」、「制動装置」が挙げられる.

「駆動装置」は指針を動かすための駆動トルクを発生させる装置.

「制御装置」は指針を元の位置に戻そうとする制御トルクを生ずる装置で, 指針 は駆動トルクと制御トルクの釣り合った位置で静止する.

「制動(Damping)」はブレーキのことで, 制動が働くことにより指針の動きと逆 方向の力が働く.

問-23.

$V=A \sin \omega t$ の実効値を求めよ(答えだけではなく、計算式を示すこと)。

(解答)

実効値$V_{rms}$ (Effective Value または、根二 乗平均ともいう$\rightarrow$Root Mean Aquare)とは, 2乗した値を1周期に 亘って平均し、そのルートを求めれば良い。したがって、以下のようになる。

$$V_{rms} = \left\{\frac{1}{T}\int_{0}^{T}A^{2}\sin^{2}\omega t dt \right\}^{1/2}$$ (135)

$$= \left\{\frac{A^{2}}{T}\int_{0}^{T}\sin^{2}\omega t dt \right\}^{1/2}$$

$$= \left\{\frac{A^{2}}{T}\int_{0}^{T} \left(\frac{1}{2}-\frac{\cos 2 \omega t}{2} \right) dt \right\}^{1/2}$$

$$= \left\{\frac{A^{2}}{T} \left( \int_{0}^{T} \frac{1}{2} dt - \int_{0}^{T} \frac{\cos 2 \omega t}{2} dt \right) \right\}^{1/2}$$

$$= \left\{\frac{A^{2}}{T} \left( \left[ \frac{1}{2}t \right]_{0}^{T} - \left[ \frac{\sin 2 \omega t}{4} \right]_{0}^{T} \right) \right\}^{1/2}$$

$$= \left\{\frac{A^{2}}{T} \left( \frac{T}{2} - 0 \right) \right\}^{1/2}$$

$$= \frac{1}{\sqrt{2}} A$$ (136)

問-24.

各家庭に引かれている電源コンセント(商用電源)の電圧は、100 Vといわれている。最大値はいくらか。

(解答)

$100 \times \sqrt{2} = 141$ V

問-25.

実効値１Vの交流波形をできるだけ正確に描きなさい。

問-26.

指示電気計器において重要なファクターには何があるか。3つ挙げてそれ ぞれを説明せよ。

(解答) セクション 5.3 を見よ.

問-27.

ある電流値をClass 2.5 の電流計を用い、10 mAレンジで測定した。 指示値が 2 mA であった場合、真の電流はどの範囲にあるか。 また、誤差率を求めよ。

(解答)

$$誤差= 10 \times \frac{2.5}{100} = 0.25 \hspace{1em} {\rm mA}$$ (137)

したがって、電流範囲は、$2\pm 0.25$ mA となる。 また、誤差率は

$$\frac{0.25}{2} \times 100 = 12.5$$ (138)

より、12.5 % となる。

問-28.

内部抵抗$R_{v}$で、測定電圧 1 V の電圧計を用いて 10 V の電圧を測定 するには、どのようにすれば良いか。

(解答) 図のように$Rn$を直列に挿入する。$Rn$は以下のように求める。

$$\frac{Rv}{Rv+Rn}\times 10 = 1$$

$$従って、Rn = 9 Rv$$ (139)

問-29.

最大目盛10 mA, 内部抵抗10 $\Omega$の電流計を用い、 最大目盛1Aを指示させようとするには、どのぐらいの大きさの分流器が必要か。 (計算式も示すこと。)

(解答)

下図のように接続すると考えると、$R$に流れる電流が990mA であるので、

$$R \times 0.99 = 10 \times 0.01$$

$$R = 0.10101$$

より、$R=0.101$ $\Omega$

問-30.

電池の起電力を電位差計で測定したところ 1.31 Vであった。 また、電圧計で測定したところ1.25 V であった。 電池の内部抵抗を求めよ。ただし、電圧計の内部抵抗は、60 $\Omega$とする。

(解答)

電位差計は、被測定電池に電流を流さないから、この電池の真の起電力は1.31 Vである。 電圧計に流れる電流値は$i=1.25/60$であり、それがそのまま回路に流れる電流値に等しいので、

$$\begin{eqnarray*} 1.31 &=& r \cdot i + 60 \cdot i \\ したがって、r &=& \frac{1... ...1.31 \times \frac{60}{1.25} -60 \\ &=& 2.88 \hspace{1em}\Omega \end{eqnarray*}$$

となる。

問-31.

一般的なホイートストンブリッジを図に示し、平衡条件を求めよ。

問-32.

図のホイートストンブリッジにおいて、未知抵抗$R_X$を求めよ。但し、$R_a=10$ $\Omega$, $R_b=100$ $\Omega$ $R_s=260$ $\Omega$ とする。

(解答)

平衡条件

$$R_a \times R_s = R_b \times R_x$$ (140)

より

$$R_x = \frac{R_a \times R_s }{R_b} = \frac{10 \times 260 }{100} =26 \hspace{1em}\Omega となる。$$ (141)

問-33.

図は、低抵抗を測定するためにホイートストンブリッジに工夫を施したも のである。図の回路において未知抵抗$R_x$を求めよ。 ただし、$Q$の値は、スイッチを1に倒したとき$Q=Q_1$, イッチを2に倒したとき $Q=Q_2$である。

問-34.

図は、標準抵抗器の等価回路である。 端子間のインピーダンスは、

$$Z = \frac{1}{\frac{1}{R+j \omega L} + j \omega C} = \frac{R + j \omega L}{1 - \omega^{2}LC + j \omega CR}$$

である。特に、周波数範囲が $\omega L \ll R$, $\omega CR \ll 1$ ならば、

$$Z \simeq R + j \omega (L-CR^{2})$$

となる。したがって、$R$は等価抵抗であり、 は等価インダクタンス である。

この等価インダクタンスを$R$で割った値 を抵抗器の時定数という。

(a)

(b)

問-35.

図の2種類の回路において、電圧計の内部抵抗を$R_{v}$, 電流計の内部抵 抗を$R_{a}$として、以下の問に答えよ。ただし、$R$は未知抵抗とする。

1. Iの回路において、電流計に流れる電流値を$I_{1}$ [A], 電圧計にかかる 電圧を$V_{1}$ [V] として、抵抗$R$に流れる電流を$I_1$,$R_a$, $V_1$, $R_v$のいくつかを用いて表せ。
2. Iの回路において抵抗$R$で消費される電力$P_1$を$I_1$,$R_a$, $V_1$, $R_v$のいくつかを用いて表せ。
3. IIの回路において、電流計に流れる電流値を$I_{2}$ [A], 電圧計にかかる 電圧を$V_{2}$ [V] として、抵抗$R$にかかる電圧を$I_2$,$R_a$, $V_2$, $R_v$のいくつかを用いて表せ。
4. IIの回路において抵抗$R$で消費される電力$P_2$をを$I_2$,$R_a$, $V_2$, $R_v$のいくつかを用いて表せ。
5. 負荷抵抗$R$の値が大きい時は、どちらの回路を採用すべきか。理由も答えよ。

(解答)

1. $(Rに流れる電流) = (電流計に流れる電流)- (電圧計に流れる電流)$な ので、
   
   $$I_R = I_1 - V_1/R_v$$
   
   

2. $(電力)= (電圧)\times (電流)$であるので、
   

   $$P_1 = V_1 \times I_R = V_1\times (I_1 - V_1/R_v) = V_1\cdot I_1 - V_1^2/R_v$$ (142)

   
   

3. 抵抗$R$にかかる電圧$V_R$は、
   
   $$V_R = V_2 - I_2 R_a$$
   
   

4. 電力は、
   

   $$P_2 = I_2 \times V_R = I_2(V_2 - I_2 R_a) = I_2 V_2 - I_2^2 R_a$$ (143)

   
   

5. IIを採用すべき。
   理由 : 式(143)では、負荷抵抗$R$の値が大きくなると$V_1$も大きく なり、誤差の項は$V_1$2乗に比例して増大する。 逆に式(144)の場合は$R$が大きくなればなるほ ど流れる電流が小さくなるために、誤差はその2乗に比例して減少する。
   ※$R_a$や$R_v$の大きさを議論しているのではないので、注意すること。

問-36.

電圧計だけで単相電力を測定する方法に三電圧計法がある。以下の問に答えよ。

1. 以下の部品を用い、回路図を示せ。
   
2. 負荷での消費電力が、以下の式で与えられることを示せ。
   
   
   $$P=\frac{1}{2R}(V_{3}^{2}-V_{1}^{2}-V_{2}^{2})$$
   
   

3. 力率が以下の式で与えられることを示せ。
   
   
   $$\cos \phi = \frac{V_3^2 - V_1^2 - V_2^2}{2 V_1 V_2}$$
   
   

(解答)

1. 回路図は以下の通り。
   

2. 負荷電圧と負荷電流の位相差を$\phi$とすると、$\cos \phi$が力率になる。 また、交流電力(有効電力)$P$は電圧と電流の積に力率をかければ良い。
   
   電圧と電流の位相関係は図16のようになっている 考えられるので、交流電力(有効電力)$P$は電圧と電流の積に力率をかければ良い。
   

   $$P=V_{1}I\cos \phi = V_1 \frac{V_2}{R}\cos \phi$$ (144)

   
   

   まず、以下のように力率を求める。 図の位相関係より、
   

   $$V_{3}^{2} = V_{1}^{2} + V_{2}^{2} -2 V_{1} V_{2} \cos(\pi -\phi)$$

   $$= V_{1}^{2} + V_{2}^{2} +2 V_{1} V_{2} \cos \phi$$ (145)

   
   
   これより、力率を求めることができる。
   

   $$\cos \phi = \frac{V_{3}^{2} - V_{1}^{2} - V_{2}^2}{2V_1 V_2}$$ (146)

   
   

   式(145) および (147)より、電力Pは、
   

   $$P=\frac{V_{3}^{2} - V_{1}^{2} - V_{2}^2}{ 2R}$$ (147)

   
   

問-37.

前問において、3電圧計法により単相交流電圧を測定したところ、$V_1$ の指示が80[V], $V_2$ の指示が100[V], $V_3$ の指示が150[V] であった。この時の抵抗値が 50$\Omega$のときの電力を求めよ。

(解答)

$$\begin{eqnarray*} P &=& \frac{V_{3}^{2} - V_{1}^{2} - V_{2}^2}{ 2R} \\ &=& \frac{150^2- 80^2 - 100^2 }{2 50} \\ &=& 61 \hspace{1em} {\rm W} \end{eqnarray*}$$

問-38.

図に示すように、3個の電流計の読み$I_{1}$, $I_{2}$, $I_{3}$と既知の抵抗$R$から負荷で消費される電力に関して、以下の問に答えよ。

1. 負荷電流$\dot{I}_{1}$は負荷電圧$\dot{V}$より位相$\phi$だけ遅れているとするとした場合、$\dot{I}_{1}$, $\dot{I}_{2}$, $\dot{I}_{3}$, $\dot{V}$のベクトル図を示せ。
   
2. $I_{1}$, $I_{2}$, $I_{3}$の関係式を導出せよ。
   
3. 交流電力$P$および力率$\cos \phi$を求めよ。

問-39.

雑音源のNoise電圧(雑音源電圧)が $\sqrt{\overline{e}^{2}}$であり、内部抵抗がRである時以下の問に答えよ。

1. Z ($\Omega$)で消費される雑音電力Pを求めよ。
2. Zの大きさがいくつの時最大雑音電力となるか。
3. 最大雑音電力はいくつか。但し、 $\overline{e}^{2}=4ktRB$とする。

問-40.

ホール係数 20 [mV/mA $\cdot$ T $\cdot$ mm], 厚さ0.25 [mm]のホール素子を 0.4 [T] の磁束密度中において、0.5[mA]の電流を流した場合に得られるき電力を 求めよ。 (解答)

$$V_H = \frac{20 \times 0.5 \times 0.4}{0.25}= 16 \hspace{2em}{\rm mV}$$

問-41.

0.5 Wb の 磁束が巻数10回の探りコイル中を短時間に $-0.5$ Wb まで変化したとすると、磁束計を通過する電荷はいくらか。但し、磁束計の全抵抗は10 $\Omega$とする。

(解答)

通過電荷は、

$$Q = I t$$

$$= \frac{n \Delta \phi}{R t} t = \frac{n \Delta \phi}{R}$$ (148)

$n=10$, $\Delta \phi = 0.5- (-0.5)=1$, $R=10$ を代入して、

$$Q=1 \hspace{3em}[{\rm C}]$$

となる。

問-42.

ある場所の磁界を測定する場合、探りコイルを用いる。 探りコイルの断面積をS, 探りコイルの巻き数を$N$, 探りコイルの抵抗値を$R$としたとき、磁束密度Bは、

$$B= \frac{QR}{SN}$$

となることを説明せよ。但し、$Q$はコイルを通過した全電荷量を示す。

(解答)

探りコイルに磁束$\Phi$が鎖交したときの起電力$e$は、

$$e=N\frac{d\Phi}{dt}$$

となる。したがって、コイルに流れる電流は、

$$i=\frac{e}{R}=\frac{N}{R}\frac{d\Phi}{dt}$$

となり、通過した全電荷は、

$$\begin{eqnarray*} Q=\int i dt &=& \frac{N}{R} \int \frac{d\Phi}{dt} dt \\ &=& \frac{N}{R} \Phi \end{eqnarray*}$$

となる。

$$\Phi = \frac{QR}{N}$$

より、

$$B= \frac{\Phi}{S}=\frac{QR}{SN}$$

となる。

問-43.

積分回路を用いることによって、磁束が測定できる理由を説明せよ。

(解答)

問-44.

オシロスコープを用いた$B-H$曲線の測定装置図を以下に示す。 この回路で$B-H$曲線が得られる理由を説明せよ。

(解答)

問-45.

オシロスコープに以下の波形が表示されている時、周期と周波数と振幅($V_{P-P}$)を求めよ。 ただし、レンジは 2V/div, 5mS/div であるとする。

(解答)

振幅の$V_{P-P}$は4目盛分なので振幅は、8 V。 周期は、6目盛分であり、30 mS。 周波数は周期の逆数であり、 $1/(30 \times 10^{-3}) = 33$ Hz。

問-46.

パルス波形の パルス幅、立ち上がり時間、立ち下がり時間について述べよ。

問-47.

オシロスコープの水平軸と垂直軸に以下のような位相の異なる正弦波電圧を 加える。 $\theta =0$, $\pi /6$, $\pi /3$, $\pi$ のときのリサージュ図形を求めよ。

問-48.

オシロスコープの水平軸と垂直軸のそれぞれに、以下のように同じ周波数の異なる正弦波を加えたとき、その位相差$\theta$が $\sin \theta = b/a$で求まることを示せ。

(解答)

水平軸と垂直軸に印加する電圧を以下のように定める。

$$e_x = E \sin \omega t$$ (149)

$$e_y = E \sin(\omega t + \theta)$$ (150)

式(151)をばらして$\omega t$を消去すると、

$$e_y = E \sin(\omega t + \theta) = E \sin \omega t \cos \theta + E \cos \omega t \sin \theta$$ (151)

$$E \cos \omega t \sin \theta = e_y - E \sin \omega t \cos \theta$$ (152)

式(150)を代入して、

$$E \cos \omega t \sin \theta = e_y - e_x \cos \theta$$ (153)

$$\cos \omega t = \frac{e_y}{E \sin \theta} - \frac{e_x \cos \theta}{E \sin \theta}$$ (154)

$$\cos^2 \omega t = \frac{e_y^2}{E^2 \sin^2 \theta} - 2\frac{e_x e_y \cos \theta}{E^2 \sin^2 \theta} + \frac{e_x^2 \cos^2 \theta}{E^2 \sin^2 \theta}$$ (155)

式(150) より、 $\sin^2 \omega t = \frac{e_x^2}{E^2}$をくわえると、

$$\cos^2 \omega t + \sin^2 \omega t = \frac{e_y^2}{E^2 \sin^2 \theta} - 2\frac{e_x e_y \cos \theta}{E^2... ...n^2 \theta} + \frac{e_x^2 \cos^2 \theta}{E^2 \sin^2 \theta} + \frac{e_x^2}{E^2}$$ (156)

$$1 = \frac{e_y^2}{E^2 \sin^2 \theta} - 2\frac{e_x e_y \cos \theta}{E^2... ...n^2 \theta} + \frac{e_x^2 \cos^2 \theta}{E^2 \sin^2 \theta} + \frac{e_x^2}{E^2}$$ (157)

$$E^2 \sin^2 \theta = e_y^2 - 2e_x e_y \cos \theta + e_x^2 \cos^2 \theta + e_x^2 \sin^2 \theta$$ (158)

$$= e_y^2 - 2 e_x e_y \cos \theta + e_x^2$$ (159)

$E$は最大値であるので、$E=a$, また、$e_x=0$のとき$e_y=b$とおけば、

$$E^2 \sin^2 \theta = b^2$$

であるので、

$$\sin \theta = \frac{b}{a}$$

となる。

問-49.

オシロスコープの水平軸と垂直軸のそれぞれに、同じ周波数の異なる正弦波を加えたとき、以下のようなリサージュが得られた。 $a=2$, $b=4$のとき、位相差はいくらか。

(解答)