Subsections

• 7.1 直流電力測定
  • 7.1.1 間接測定法
  • 7.1.2 直接測定法
  
  
• 7.2 交流の電力測定
• 7.3 3電圧計法の説明
• 7.4 3電流計法
• 7.5 多相交流(3相交流)のおさらい
  • 7.5.1 対称三相交流の起電力
  
  
• 7.6 対称三相交流の電力測定

7 電力, 位相測定

7.1 直流電力測定

7.1.1 間接測定法

間接測定法 $\longrightarrow$ 電圧と電流を測定し、$P=VI$で求める。 接続の仕方は、2種類ある。

図 14: 消費電力測定のための回路

(a)の場合の消費電力を$P_{a}$, (b)の消費電力を$P_{b}$とすると、 まず、(a)の場合は、

$$P = I_{r} V_{r}$$

$$= I_{r}(V - R_{a}I_{r})$$

$$= I_r V - I_r^{2} R_{a}$$ (63)

となり、$I^{2} R_{a}$が誤差となる。(b)の場合は、

$$P = I_{r} V_{r}$$

$$= (I - V_r/R_{v}) V_{r}$$

$$= I V_r - \frac{V_r^{2}}{R_{v}}$$ (64)

となり、 $\frac{V^{2}}{R_{v}}$が誤差となる。

7.1.2 直接測定法

電流力計型電力計を用いることにより、直接電力を測定できる。

7.2 交流の電力測定

電圧と電流に位相差がない場合

$$v = v_{m}\sin \omega t$$ (65)

$$i = i_{m}\sin \omega t$$ (66)

の時の瞬時電力は以下のように求められる。

$$P = \frac{1}{T} \int_{0}^{T}vi dt$$

$$= \frac{1}{T} \int_{0}^{T}v_{m} i_{m} \sin^{2}\omega t dt$$

$$= \frac{1}{T}v_{m} i_{m} \int_{0}^{T} \left[ \frac{1-\cos 2\omega t }{2} \right] dt$$

$$= \frac{1}{T}v_{m} i_{m}\left[ \frac{1}{2}t \right]_0^{T}$$

$$= \frac{1}{2}v_{m} i_{m}$$

$$= \frac{v_{m}}{\sqrt{2}} \frac{i_{m}}{\sqrt{2}} \equiv v_{rms}i_{rms}$$ (67)

電圧と電流の位相差が$\phi$の時

$$v = v_{m}\sin \omega t$$ (68)

$$i = i_{m}\sin (\omega t + \phi)$$ (69)

$$P = \frac{1}{T} \int_{0}^{T}vi dt$$

$$= \frac{1}{T} \int_{0}^{T}v_{m} i_{m} \sin \omega t \sin (\omega t + \phi) dt$$

$$= \frac{1}{T} \int_{0}^{T}v_{m} i_{m} \sin \omega t (\sin \omega t \cos \phi + \cos \omega t \sin \phi )$$

$$= \frac{1}{T} \int_{0}^{T}v_{m} i_{m} (\sin^{2} \omega t \cos \phi + \sin \omega t \cos \omega t \sin \phi )$$

$$= \frac{v_{m} i_{m}}{T} \int_{0}^{T}\sin^{2} \omega t \cos \phi dt + \int_{0}^{T}\sin \omega t \cos \omega t \sin \phi dt$$

$$= \frac{1}{T}v_{m} i_{m} \int_{0}^{T} \left[ \frac{1-\cos 2\omega t }{2} \right]dt \cos\phi$$

$$= \frac{1}{2}v_{m} i_{m}\cos\phi$$

$$= \frac{v_{m}}{\sqrt{2}} \frac{i_{m}}{\sqrt{2}}\cos\phi$$

$$= v_{rms}i_{rms}\cos\phi$$ (70)

有効電力と無効電力
$P= v_{rms}i_{rms}\cos\phi$ [W] を有効電力と言い、抵抗消費分を表している。
また、 $Q= v_{rms}i_{rms}\sin\phi$ [Var] を無効電力と言う。 無効電力はリアクタンス分で消費される電力で、単位の Varは、Volts amperes reavtive の略。
$S= v_{rms}i_{rms} = \sqrt{P^2 + Q^2}$ を皮相電力と言う。
さらに、$\cos \phi$は、力率と言い、$\cos=P/S$なる関係が成り立つ。

7.3 3電圧計法の説明

3個の電圧計の読みと1つの既知抵抗から負荷で消費される消費電力$P$を求めることができる。

図 15: 3電圧計法の結線図

負荷電圧と負荷電流の位相差を$\phi$とすると、$\cos \phi$が力率になる。

図 16: ベクトル

電圧と電流の位相関係は図16のようになっている考えられるので、交流電力(有効電力)Pは電圧と電流の積に力率をかければ良い。

$$P=V_{1}I\cos \phi = V_1 \frac{V_2}{R}\cos \phi$$ (71)

以下のように力率を求める。 図16の位相関係より、

$$V_{3}^{2} = V_{1}^{2} + V_{2}^{2} -2 V_{1} V_{2} \cos(\pi -\phi)$$

$$= V_{1}^{2} + V_{2}^{2} +2 V_{1} V_{2} \cos \phi$$ (72)

これより、力率を求めることができる。

$$\cos \phi = \frac{V_{3}^{2} - V_{1}^{2} - V_{2}^2}{2V_1 V_2}$$ (73)

式(71) および (73)より、電力Pは、

$$P=\frac{V_{3}^{2} - V_{1}^{2} - V_{2}^2}{ 2R}$$ (74)

7.4 3電流計法

前節では3つの電圧計を用いて電力を求めたが、同様に3つの電流計を用いること により負荷電力を求めることができる。 結線は以下のようになる。

図 17: fig:3curvec

実抵抗$R$に流れている電流の位相が 負荷電圧の位相と等しくなる。今、負荷電流${\dot I_1}$負荷電圧より$\phi$だけ遅れていると仮定するとベクトル図に直すと、以下のようになる。

図 18: ベクトル図

交流電力$P$は、(電圧)x(電流)x(力率)より、

$$P=V I_1 \cos \phi$$ (75)

となる。 また、ベクトル図より、各電流および位相差との関係は

$$I_3^2 = I_1^2 + I_2^2 + 2 I_1 I_2 \cos \phi$$ (76)

である。 これらより$P$ を求めると、

$$P = \frac{R}{2} (I_3^2-I_1^2-I_2^2)$$ (77)

となる。 また、力率は式(76)より

$$\cos \phi = \frac{I_3^2 - I_2^2 - I_1^2}{2 I_1 I_2}$$ (78)

と、求めることができる。

7.5 多相交流(3相交流)のおさらい

7.5.1 対称三相交流の起電力

各相の瞬時値は、

$$v_1 = E_m \sin \omega t$$ (79)

$$v_2 = E_m \sin (\omega t - \frac{2\pi}{3})$$ (80)

$$v_3 = E_m \sin (\omega t - \frac{4\pi}{3})$$ (81)

と表すことができる。ベクトル表示では、

$$\dot{v}_{1} = E$$ (82)

$$\dot{v}_{2} = E e^{-j \frac{2}{3}\pi}$$ (83)

$$\dot{v}_{3} = E e^{-j \frac{4}{3}\pi}$$ (84)

となる。

図 19: 三相交流電力測定

したがって、

$$v_{1} + v_{2} + v_{3} = 0$$ (85)

が成り立つ。 同様に電流に対しても、

$$i_{1} + i_{2} + i_{3} = 0$$ (86)

となる。

7.6 対称三相交流の電力測定

電力Pを求めると、

$$P = \frac{1}{T} \int^{T}_{0}(i_1 v_1 + i_2 v_2 + i_3 v_3) dt$$ (87)

$$= \frac{1}{T} \int^{T}_{0}(i_1 v_1 + i_2 v_2 + (-i_1 - i_2) v_3) dt$$ (88)

$$= \frac{1}{T} \int^{T}_{0} i_1 (v_1 - v_3) dt + \frac{1}{T} \int^{T}_{0} i_2 (v_2 - v_3) dt$$ (89)

$$= P_1 + P_2$$ (90)

となる。したがって、図(19)の様に結線することにより、2台の単相電力計を用いることにより、三相電力が測定できる。

次に以下のようにして力率を求めることができる。

図 20: 三相交流ベクトル図

電圧-電流の位相差を$\phi$とすると、

$$P_1 = V_{12} I_{1} \cos(\frac{\pi}{6} + \phi)$$ (91)

$$P_2 = V_{32} I_{3} \cos(\frac{\pi}{6} - \phi)$$ (92)

$P=P_1 + P_2$より、

$$P = P_1 + P_2$$ (93)

$$= IV \left\{ \cos\left(\frac{\pi}{6} + \phi \right) + \cos\left( \frac{\pi}{6}-\phi\right)\right\}$$ (94)

$$= IV \left(\cos \frac{\pi}{6} \cos \phi - \sin \frac{\pi}{6} \sin \phi + \cos \frac{\phi}{6}(-\phi) - \sin \frac{\pi}{6}\sin(-\phi) \right)$$ (95)

$$= IV \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \phi \times 2 \right)$$ (96)

$$= \sqrt{3} IV \cos \phi$$ (97)

また、

$$\frac{P_1}{P_2} = \frac{\cos\left(\frac{\pi}{6} + \phi \right) }{\cos\left(\frac{\pi}{6} - \phi \right)}$$ (98)

$$= \frac{\sqrt{3}/2 \cos \phi - 1/2 \sin \phi}{ \sqrt{3}/2 \cos\phi + 1/2 \sin\phi} = \frac{\sqrt{3}-\tan \phi}{ \sqrt{3} + \tan \phi}$$ (99)

$\tan \phi$を求めると、

$$P_1 \sqrt{3} + P_1 \tan\phi = P_2 \sqrt{3} - P_2 \tan \phi$$ (100)

$$(P_1 + P_2) \tan \phi = (P_2 - P_1) \sqrt{3}$$ (101)

$$\tan \phi = \frac{\sqrt{3}(P_1 - P_2)}{ P_1 + P_2}$$ (102)

$$= \sqrt{3} \frac{1 - \frac{P_1}{P_2}}{\frac{P_1}{P_2} + 1 }$$ (103)

ところで、