Subsections

• 1.1 計測の意義
  • 1.1.1 計測の定義
  • 1.1.2 計測の意義
  
  
• 1.2 測定法の分類
  • 1.2.1 直接測定法と間接測定法
  • 1.2.2 偏位法, ゼロ位法, 補償法
  • 1.2.3 ディジタル測定法とアナログ測定法
  
  
• 1.3 測定の精度について
  • 1.3.1 確度(正確さ)
  • 1.3.2 精度(精密さ)
  
  
• 1.4 誤差について
• 1.5 誤差の原因と対策について
• 1.6 測定データの取り扱いと測定誤差の統計的処理
  • 1.6.1 平均値
  • 1.6.2 分散と標準偏差
  • 1.6.3 ガウス分布
  
  
• 1.7 最小二乗法
• 1.8 誤差伝搬の法則
• 1.9 有効数字について
  • 1.9.1 四捨五入についてのルール
  • 1.9.2 有効数字について
  
  
• 1.10 デシベル表示
  • 1.10.1 電力利得について
  • 1.10.2 電圧利得について
  • 1.10.3 dBmについて
  
  
• 1.11 SI単位系について

1 計測

1.1 計測の意義

1.1.1 計測の定義

測定 $\rightarrow$ ものの大きさや量を単位量の何倍になるかを求めること。

計測 $\rightarrow$ 測定結果を情報として利用できるようにする。 (統計的処理などを施す)

1.1.2 計測の意義

1.測定装置と測定技術の設計,開発,応用

2.測定データを解析、解釈して意味ある情報を得る。

3.測定単位系の確立

1.2 測定法の分類

1.2.1 直接測定法と間接測定法

• 直接測定法 $\rightarrow$ 被測定量を直接測定する.
  (例)ものの長さを物差しで計る. 電流計で電流を計る. など
• 間接測定法 $\rightarrow$ 被測定量と関係のある別の量を測定し, その結果か ら計算で算出する.
  (例) 抵抗に流れる電流と抵抗にかかる電圧を測定し, 計算によって抵抗値を求 める. 電流と電圧から電力を求める. など

1.2.2 偏位法, ゼロ位法, 補償法

1. 偏位法
   $\rightarrow$ 偏位をそのまま測定する
   
2. ゼロ位法
   $\rightarrow$ 基準量を変化させて差をゼロとする
   (例) 電位差計やブリッジなど
   

3. 補償法
   $\rightarrow$ 基準量との差を求める(差は必ずしもゼロとしない)
   (例) 標準周波数 $f_{s}$ と未知の周波数 $f_{x}$ との差周波$\Delta f$(ビー ト信号の周波数)を測定し, 未知の周波数 ( $f_{x} = f_{s} +\Delta f$) を 求める.
   (余談) 柱につけた一昨年の5月5日のキズの位置と, 子供aの 身長を比較して, その差を求めるのも, 補償法？？

1.2.3 ディジタル測定法とアナログ測定法

1. ディジタル測定法
   測定値を直接数値で表示
2. アナログ測定法
   指針計の計器などで連続した量で表示

1.3 測定の精度について

1.3.1 確度(正確さ)

かたよりの大きさで判断(真値からのずれ)。

1.3.2 精度(精密さ)

ばらつきの大きさで判断(分散や標準偏差)。

（例）下表の測定例で、電流計Aと電流計Bはどちらが精度が良いか? (平均と分散 を求めてみる)

表 1: 二種類の電流計を用いて、5.0 Aの電流値を10回測定

	1回	2回	3回	4回	5回	6回	7回	8回	9回	10回	平均
電流計A	5.5	4.7	4.3	5.6	5.0	5.8	5.7	5.1	4.3	4.8	5.1
電流計b	5.1	5.0	5.2	5.3	5.1	5.2	5.1	5.1	5.3	5.2	5.2

1.4 誤差について

誤差 $\varepsilon=M-T$ $\rightarrow$ 真の値に対する測定値のずれ

誤差率 $= \varepsilon / T$

補正 $\alpha = - \varepsilon$

ここで、

M : Measurement T : True value

1.5 誤差の原因と対策について

誤差の原因については、一概に特定することはできないが、以下のような原因が考えられる。

1. 個人誤差

   操作ミス、単位系の読み間違い、計算間違い、レンジのミス

2. 測定器の誤差

   ゼロ点の狂い, 計器の姿勢, 自己加熱、

3. 環境による誤差

   周囲温度・湿度の影響、外部磁界の影響

4. ランダム誤差

   熱雑音による抵抗の揺らぎ

誤差をその振舞で分けると「系統誤差」と「偶然誤差」の分けられる。 すなわち、「系統誤差」というのは、測定結果に偏りを生じさせる誤差のこと であり、「偶然誤差」は系統誤差を除いた後も以前として残る誤差のことである。

1.6 測定データの取り扱いと測定誤差の統計的処理

1.6.1 平均値

測定値、$x_{1}$, $x_{2}$, $\cdots$, $x_{n}$ の平均値 $\overline{x}$は、

$$\overline{x} = \frac{x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n}}{n}$$ (1)

1.6.2 分散と標準偏差

標準偏差を$\sigma$(分散は$\sigma^{2}$と表す)とすると、

$$\sigma =\sqrt{\frac{y_{1}^{2}+y_{2}^{2} + \cdots + y_{n}^{2}}{n-1}}$$ (2)

ただし、$y_{1}^{2}$, $y_{2}^{2}$, $\cdots$, $y_{n}^{2}$ は、各測定値の 平均値からのずれをあらわしている。

一般的に測定回数を多くすれば分散が小さくなる(誤差が小さくなる)が、10個以上になるとあまり効果がなくなる。

1.6.3 ガウス分布

ランダムな誤差の発生確率は一般的にガウス分布に従う。 ガウス分布曲線の式は、以下のように表せる。

$$y = \frac{h}{\sqrt{\pi}} \exp({-h^{2}x^{2}})$$ (3)

ただし、$h$は定数である。

1.7 最小二乗法

観測値$y$に対する真値$T$の差の2乗和を最小にする。 いま、$x$, $y$を測定して、以下の表が得られたとする。

表 2: $x$に対する$y$の測定結果

	1回	2回	3回	$\cdots$	n回
xの値	$x_{1}$	$x_{2}$	$x_{3}$	$\cdots$	$x_{n}$
yの値	$y_{1}$	$y_{2}$	$y_{3}$	$\cdots$	$y_{n}$

いま仮に、$x$と$y$が以下のように1次式で表すことができるとする。

$$y=ax+b$$ (4)

この式の$x$に$x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$, $\cdots$, $x_{n}$を代入して得ら れる値を $y'_{1}$, $y'_{2}$, $y'_{3}$, $\cdots$, $'_{n}$とすると、

$$\Sigma (y_{n} - y'_{n})^{2} = \Sigma (y_{n} - (a x_{n} + b))^{2}$$ (5)

が最小になるaとbを求めれば良い。

具体例を以下に示す。

表 3: 最小2乗法の具体例

	1回	2回	3回	4回	5回
xの値	1	2	3	4	5
yの値	3.6	7.2	9.5	15.5	18.1

式(5)を具体的に求めると、

$$\Sigma \varepsilon^{2}_{n} \equiv \Sigma (y_{n} - y'_{n})^{2} = \Sigma (y_{n} - (a x_{n} + b))^{2}$$

$$= (3.6-(a+b))^{2} + (7.2-(2a+b))^{2} + (9.5-(3a+b))^{2}$$

$$+ (15.5-(4a+b))^{2}+ (18.1-(5a+b))^{2}$$ (6)

となる。このまま計算するのはチョットしんどい。 $\Sigma \varepsilon^{2}_{n}$が最小になる$a$, $b$を求めれば良いのだから、 $a$と $b$で偏微分した式が0になる$a$, $b$を求めることとする。

まず、$a$で偏微分すると、

$$\frac{\partial}{\partial a} \Sigma \varepsilon^{2}_{n} = -2(3.6-(a+b)) -2\times 2(7.2-(2a+b)) -2\times 3 (9.5-(3a+b))$$

$$-2 \times 4(15.5-(4a+b)) - 2 \times 5 (18.1-(5a+b))$$

$$= 110a + 30b - 398.0 = 0$$ (7)

次に、$b$で偏微分すると、

$$\frac{\partial}{\partial b} \Sigma \varepsilon^{2}_{n} = -2(3.6-(a+b)) -2(7.2-(2a+b)) -2(9.5-(3a+b))$$

$$-2 (15.5-(4a+b)) - 2 (18.1-(5a+b))$$

$$= 30a + 10b - 107.8 = 0$$ (8)

式(7), (8)を連立させて解くと、

$$a = 3.73$$

$$b = -0.41$$

となる。 これをグラフ化したものが、図(1)である。

図 1: $y=ax+b$のグラフにFitさせた例

これらの手順をもう少し、一般化する。 表(2)について、式(6)の前半部分により、

$$\frac{\partial}{\partial a} \Sigma \varepsilon^{2}_{n} = \frac{\partial}{\partial a}\Sigma (y_{n} - (a x_{n} + b))^{2}$$

$$= - 2 \Sigma x_{n} (y_{n} - (a x_{n} + b))$$

$$= -2 \Sigma x_{n}y_{n} + 2a \Sigma x_{n}^{2} + 2 \Sigma x_{n}b = 0$$ (9)

$$\frac{\partial}{\partial b} \Sigma \varepsilon^{2}_{n} = \frac{\partial}{\partial b}\Sigma (y_{n} - (a x_{n} + b))^{2}$$

$$= - 2 \Sigma (y_{n} - (a x_{n} + b))$$

$$= -2 \Sigma y_{n} + 2a \Sigma x_{n} + 2nb = 0$$ (10)

行列式の形で表せば、

$$\left[ \begin{array}[tb]{cc} 2 \Sigma x_{n}^{2}& 2 \Sigma... ... 2 \Sigma x_{n}y_{n} \\ 2 \Sigma y_{n} \end{array} \right]$$ (11)

したがって、

$$\left[ \begin{array}[tb]{c} a \\ b \end{array} \right]... ... 2 \Sigma x_{n}y_{n} \\ 2 \Sigma y_{n} \end{array} \right]$$ (12)

(練習問題)

以下の表において、$y=ax^{2}+bx+c$の関係がある時、最小2乗法により$a$, $b$, $c$を求めよ。

表 4: 最小2乗法の練習問題

	1回	2回	3回	4回	5回
xの値	1.0	2.2	2.9	4.1	5.0
yの値	2.0	5.2	10.5	17.0	27.5

(解答)

与えられた式に適合するように一般化して求める。すなわち、

$$\frac{\partial}{\partial a} \Sigma \varepsilon^{2}_{n} = \frac{\partial}{\partial a}\Sigma (y_{n} - (a x_{n}^{2} + bx_n+c))^{2}$$

$$= - 2 \Sigma x_{n}^{2} (y_{n} - (a x_{n}^{2} + bx_n+c))$$

$$= -2 \Sigma x_{n}^{2}y_{n} + 2a \Sigma x_{n}^{4} +2b \Sigma x_{n}^{3} +2c \Sigma x_{n}^{2}= 0$$ (13)

$$\frac{\partial}{\partial b} \Sigma \varepsilon^{2}_{n} = \frac{\partial}{\partial b}\Sigma (y_{n} - (a x_{n}^{2} + bx_{n}+c))^{2}$$

$$= - 2 \Sigma x_{n} (y_{n} - (a x_{n}^{2} + bx_{n}+c))$$

$$= -2 \Sigma x_{n} y_{n} + 2a \Sigma x_{n}^{3} +2b \Sigma x_{n}^{2}+2c\Sigma x_{n} = 0$$ (14)

$$\frac{\partial}{\partial c} \Sigma \varepsilon^{2}_{n} = \frac{\partial}{\partial c}\Sigma (y_{n} - (a x_{n}^{2} + bx_{n}+c))^{2}$$

$$= - 2 \Sigma (y_{n} - (a x_{n}^{2} + bx_{n}+c))$$

$$= -2 \Sigma y_{n} + 2a \Sigma x_{n}^{2} +2b\Sigma x_{n}+2cn = 0$$ (15)

行列式の形で表せば、

$$\left[ \begin{array}[tb]{ccc} 2 \Sigma x_{n}^{4} & 2\Sigm... ... 2 \Sigma x_{n} y_{n} \\ 2 \Sigma y_{n} \end{array} \right]$$ (16)

したがって、

$$\left[ \begin{array}[tb]{c} a \\ b \\ c \end{array} ... ... 2 \Sigma x_{n} y_{n} \\ 2 \Sigma y_{n} \end{array} \right]$$ (17)

1.8 誤差伝搬の法則

測定値の誤差が、最後の結果にどのような影響をおよぼすか。

(1)

求める量が、２つの量$x_{1}$, $x_{2}$の和(または差)で表せるとき

$$y=x_{1} + x_{2}$$ (18)

実際には誤差を考慮すると、

$$y + \Delta y = (x_{1}+ \Delta x_{1})+ (x_{2} + \Delta x_{2})$$ (19)

$$\makebox[4cm]{したがって、} \Delta y = \vert\Delta x_{1}\vert + \vert\Delta x_{2}\vert$$ (20)

誤差は和の形で伝搬する。

(例題) A君の体重は$58 \pm 2$ kg、 B君の体重は$75 \pm 3.5$ kgであった。

A君とB君を合わせた体重の誤差と相対誤差を求めよ。

(2)

求める量が、２つの量$x_{1}$, $x_{2}$の積で表せるとき

$$y=x_{1} \times x_{2}$$ (21)

実際には誤差を考慮すると、

$$y + \Delta y = (x_{1}+ \Delta x_{1}) \times (x_{2} + \Delta x_{2})$$

$$= x_{1} x_{2} + x_{1} \Delta x_{2} + x_{2} \Delta x_{1} + \Delta x_{1} \Delta x_{2}$$ (22)

$$\makebox[4cm]{したがって、} \Delta y = \vert x_{1} \Delta x_{2}\vert + \vert x_{2} \Delta x_{1}\vert + \vert\Delta x_{1} \Delta x_{2}\vert$$

$$\simeq \vert x_{1} \Delta x_{2}\vert + \vert x_{2} \Delta x_{1}\vert$$ (23)

(例題) 電圧$V$と電流$I$を測定したところ、$V=100 \pm 0.5$ V, $I=20 \pm 0.1$ A であった。電力の誤差と相対誤差を求めよ。

(解答)

$$P = (100 \pm 0.5)(20 \pm 0.1)$$

$$= 2000 + 100 \times (\pm 0.1) + 20\times (\pm 0.5) + (\pm 0.5) (\pm 0.1)$$

$$\Delta P \simeq \pm \vert(\pm 10)\vert+\vert(\pm 10)\vert$$

$$= 2000 \pm 20$$ (24)

電力の誤差は, 40 w で, 相対誤差は $40/2000 = 2$ %.

(3)

求める量が、２つの量$x_{1}$, $x_{2}$の商で表せるとき

$$y=\frac{x_{1}}{x_{2}}$$ (25)

実際には誤差を考慮すると、

$$y + \Delta y = \frac{(x_{1}+ \Delta x_{1})}{(x_{2} + \Delta x_{2})}$$

$$= \frac{x_{1}(1 + \frac{\Delta x_{1} }{x_{1}})}{x_{2}(1 + \frac{\Delta x_{2}}{x_{2} })}$$ (26)

$$\simeq \frac{x_{1}}{x_{2}} \left\{1 + \frac{\Delta x_{1}}{x_{1}} \right\} \left\{ 1 - \frac{\Delta x_{2}}{x_{2} } \right\}$$ (27)

$$\simeq \frac{x_{1}}{x_{2}} \left\{1 + \left\vert \frac{\Delta x_{1}}{x_{1}} \right\vert+ \left\vert \frac{\Delta x_{2}}{x_{2}} \right\vert \right\}$$ (28)

$$\makebox[4cm]{したがって、} \Delta y = \left\vert \frac{x_{1}}{x_{2}} \right\vert\left\{ \left\vert \fra... ...}}{x_{1}}\right\vert + \left\vert\frac{\Delta x_{2}}{x_{2}}\right\vert \right\}$$ (29)

(例題) 6 % の誤差を持つ25 $\Omega$ の抵抗に $150 \pm 3$ Vの電圧を印加し た. 流れている電流の誤差と相対誤差を求めよ.

(解答) 25 $\Omega$ の6 %は 1.5 $\Omega$ であるので,

$$I = \frac{150 \pm 3}{25 \pm 1.5}$$

$$= \frac{150}{25} \left\{1 \pm \left(\frac{3}{150}+\frac{1.5}{25}\right) \right\}$$

$$= 6.0 \pm 0.48$$ (30)

1.9 有効数字について

1.9.1 四捨五入についてのルール

四捨五入する数字が正確に5の場合は, そのうえのけたが偶数になるように繰り 上げるか切り捨てる.

例えば, 23.5のとき小数点以下を四捨五入すれば24になる.

26.5のときは小数点以下を四捨五入すれば26になる.

1.9.2 有効数字について

32500などと書くと有効数字が明確にならない. $3.25\times 10^{4}$な どと書く.

1.10 デシベル表示

1.10.1 電力利得について

ある装置(回路)への入力電力を$P_{in}$, 出力電力を$P_{out}$とすると電力利 得Gは,

$$G = \frac{P_{out}}{P_{in}} \hspace{1em} [倍]$$ (31)

$$= 10 \log_{10}\left(\frac{P_{out}}{P_{in}}\right) \hspace{1em}[{\rm dB}]$$ (32)

[例題]

10 mWの入力電力を40 Wまで増幅した. 電力利得は何[dB]か.

1.10.2 電圧利得について

ある装置(回路)への入力電圧を$V_{in}$, 出力電圧を$V_{out}$とすると 電圧利得$A_{v}$は,

$$A_{v} = \frac{V_{out}}{V_{in}} \hspace{1em} [倍]$$ (33)

$$= 20 \log_{10}\left(\frac{V_{out}}{V_{in}}\right) \hspace{1em}[{\rm dB}]$$ (34)

[例題]

1.10.3 dBmについて

電力$P$を$10\log_{10}P$ [dBm]で表した単位. したがって1mWは0dBmになる.

$$10 \log_{10}1= 0 \hspace{1em}{\rm dbm}$$ (35)

1.11 SI単位系について

基本単位を[m], [kg], [s], [A]とした単位系