逆マトリクスの計算

$$\left(\matrix{ x_{11}&x_{12}\cr x_{21}&x_{22} }\right) \... ...{21}&y_{22} }\right) = \left(\matrix{ 1&0\cr 0&1 }\right)$$

連立方程式

$$\begin{eqnarray*} x_{11}y_{11}+x_{12}y_{21}&=&1\\ x_{11}y_{12}+x_{12}y_{22}&=... ... x_{21}y_{11}+x_{22}y_{21}&=&0\\ x_{22}y_{12}+x_{22}y_{22}&=&1 \end{eqnarray*}$$

を$y_{ij}$について解けば$X$の逆マトリクスが求まる:

$$\begin{eqnarray*} y_{11}&=&\frac{x_{22}}{x_{11}x_{22}-x_{12}x_{21}}\\ y_{12}&... ...12}x_{21}}\\ y_{22}&=&\frac{x_{11}}{x_{11}x_{22}-x_{12}x_{21}} \end{eqnarray*}$$

逆マトリクスの計算を効率よく行うには行列式が必要となる。

一般に、n行n列の正方マトリクス

$$\begin{eqnarray*} A&=&\left( \begin{array}{cccc} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\... ...ddots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} \end{array}\right) \end{eqnarray*}$$

の逆行列$A^{-1}$は、

$$\begin{eqnarray*} A^{-1}&=&\frac{1}{\vert A\vert} \left( \begin{array}{cccc} ... ...ddots&\vdots\\ A_{1n}&A_{2n}&\cdots&A_{nn} \end{array}\right) \end{eqnarray*}$$

と表される。 ただし、$\vert A\vert$はマトリクス$A$の行列式を意味し、 $A_{ij}$は$a_{ij}$の余因数を意味する。

[証明]

$$\begin{eqnarray*} B&=& \left( \begin{array}{cccc} A_{11}&A_{21}&\cdots&A_{n1... ...\ A_{1n}&A_{2n}&\cdots&A_{nn} \end{array} \right)\\ C&=&AB \end{eqnarray*}$$

と表すとき、 マトリクスの積の定義より、 マトリクス$C$のi行j列の要素は、

$$\begin{eqnarray*} c_{ij} &=& \sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}\\ &=& \sum_{k=1}^{n}a_{ik}A_{jk} \end{eqnarray*}$$

と表される。 ここで、行列式の要素と余因数の関係式(3)より、

$$\begin{eqnarray*} b_{ij}&=&\vert A\vert\delta_{ij} \end{eqnarray*}$$

であるから、マトリクス$B$の対各要素は行列式$\vert A\vert$と等しく、 非対角要素は$0$である。したがって、

$$C=AB=\vert A\vert I$$

であるから、

$$\frac{1}{\vert A\vert}AB=I,\qquad A^{-1}=\frac{1}{\vert A\vert}B$$

が成立する。