行列式の展開

4次の行列式を第1列で展開すると、

$$\begin{eqnarray*} \vert A\vert&=& \left\vert\matrix{ a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{... ...t \\ &=& a_{11}A_{11}+a_{21}A_{21}+a_{31}A_{31}+a_{41}A_{41} \end{eqnarray*}$$

上の$a_{k1}$を$a_{kn}$で置き換えると($k=1,2,3,4$)

$$\begin{eqnarray*} \lefteqn{ a_{1n}A_{11}+a_{2n}A_{21}+a_{3n}A_{31}+a_{4n}A_{41... ... 0& (n\ne1) \end{array}\right. \\ &=&\vert A\vert \delta_{1n} \end{eqnarray*}$$

ただし、$\delta_{1n}$はクロネッカの$\delta$を表す ¹。

一般に、

$${ a_{1n}A_{1m}+a_{2n}A_{2m}+a_{3n}A_{3m}+a_{4n}A_{4m} }$$

$$= \vert A\vert\delta_{nm}\hspace{30ex}$$ (3)

が成立する。