クラーメルの規則

4元連立1次方程式を例に方程式の解法を説明する。 この方法は、一般のn元連立1次方程式にも適用できる。

$$a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3+a_{14}x_4 = k_1$$ (4)

$$a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3+a_{24}x_4 = k_2$$ (5)

$$a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3+a_{34}x_4 = k_3$$ (6)

$$a_{41}x_1+a_{42}x_2+a_{43}x_3+a_{44}x_4 = k_4$$ (7)

ここで、

$$\begin{eqnarray*} \vert A\vert&=& \left\vert\matrix{ a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{... ...{32}&a_{33}&a_{34}\cr a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44} }\right\vert \end{eqnarray*}$$

と置く。

式(4)から式(7)に、それぞれ、 余因数 $A_{11}, A_{21}, A_{31}, A_{41}$を掛け算して、 これら4つを足し合わせると、

$$\begin{eqnarray*} \lefteqn{(a_{11}A_{11}+a_{21}A_{21}+a_{31}A_{31}+a_{41}A_{41}... ...44}A_{41})x_4}\\ &=& k_1A_{11}+k_2A_{21}+k_3A_{31}+ k_4A_{41} \end{eqnarray*}$$

ここで、式(3)を上の左辺に適用すると、第2〜4項は0(零)となるの で、

$$\begin{eqnarray*} \vert A\vert x_1&=& k_1A_{11}+k_2A_{21}+k_3A_{31}+ k_4A_{41}\... ..._{32}&a_{33}&a_{34}\cr k_{4}&a_{42}&a_{43}&a_{44} }\right\vert \end{eqnarray*}$$

したがって、

$$x_1=\frac{ \left\vert\matrix{ k_{1}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\... ...a_{33}&a_{34}\cr a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44} }\right\vert }$$

同様に、式(4)-(7)に $A_{1n}, A_{2n}, A_{3n}. A_{4n}$を掛け算して足し合わせるて変形すると、$x_n$が 求まる。($n=2,3,4$)

以上より、連立1次方程式の解は、一般に

$$x_n=\frac{(\mbox{Aの第$n$列を右辺で置き換えた行列式})}{\vert A\vert}$$

と表される。

(教科書 p. 42)