逆マトリクスの性質

• $(A^{-1})^{-1}=I$, かつ, $A^{-1}A=I$

  
  

  $$A^{-1}A=F$$
  
  
  とする。 この両辺に右から$A^{-1}$を掛けて、整理すると、
  $$\begin{eqnarray*} (A^{-1}A)A^{-1}=FA^{-1} A^{-1}(AA^{-1})=FA^{-1} \end{eqnarray*}$$
  
  
  式(8)より、
  $$\begin{eqnarray*} A^{-1}I=FA^{-1}\quad \rightarrow\quad A^{-1}=FA^{-1} \end{eqnarray*}$$
  
  
  この式はどのような$A^{-1}$に対しても成り立つので、
  
  $$F=I\qquad\rightarrow\qquad A^{-1}A=I$$
  
  
  以上より、
  
  $$AA^{-1}=A^{-1}A=I,\quad{\mbox{かつ}},\quad (A^{-1})^{-1}=A$$
  
  
  が成立する。

• 2つの正方マトリクス $X$, $Y$の間で、
  
  $$(XY)^{-1}=Y^{-1}X^{-1}$$
  
  
  が成り立つ。 (掛け算の順序に注意)

  [証明]
  

  $$(XY)(XY)^{-1}=E$$
  
  
  が成り立つ。ここで、$E$は単位マトリクスを表す。

  上式の両辺に左から$Y^{-1}X^{-1}$を掛ける:
  

  $$(Y^{-1}X^{-1})(XY)(XY)^{-1}=(Y^{-1}X^{-1})E$$
  
  
  単位マトリクスの性質から右辺は$Y^{-1}X^{-1}$となる。 他方、左辺は、
  $$\begin{eqnarray*} \lefteqn{ (Y^{-1}X^{-1})XY(XY)^{-1} }\\ &=&Y^{-1}X^{-1}XY... ...-1}EY(XY)^{-1}= Y^{-1}Y(XY)^{-1}\\ &=& E(XY)^{-1}= (XY)^{-1} \end{eqnarray*}$$