オイラーの式

複素数$z=a+bj$の指数$e^{z}$はどうしたら計算できるだろうか？

$$e^{z}=e^{a+bj}=e^a\times e^{bj}$$

であるから、$e^a$は電卓で計算するにしても、$e^{bj}$はすぐには計算できな い。

計算の基本は四則演算であるから、指数関数を四則演算で計算する方法を明らか にすることが必要になる。

連続的に変化する関数$f(x)$を$x$のべき級数で表す方法としてマクローリン展開が知られている 。 ( 指数関数、および、三角関数の級数展開 )
詳しくは、微分積分の授業で学ぶこととして、ここでは結論だけを述べる。

マクローリン展開:

$$f(x)=f(0)+\frac{f'(0)}{1!}x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+R_{n+1}$$

ただし、 $$R_{n+1}=\frac{f^{(n+1)}(px)}{(n+1)!}x^{n+1},\ (0<p<1)$$ である。 ここで、$f^{(n)}(x)$は$f(x)$の$n$次の導関数であり、$n!$は階乗 [ $n!=n\times(n-1)\times\cdots\times2\times1,(n>0)\ = 1,(n=0)$]を表す。

マクローリン展開において、$n$を十分に大きく取れば、指数関数は、

$$\begin{eqnarray*} e^x&=& 1+x+\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{4!}x^4+\cdots \end{eqnarray*}$$

と無限級数で表される(展開できる)。

上の式で、$x=jt$と置き、実数部と虚数部に別けて整理すると、

$$\begin{eqnarray*} e^{jt} &=& 1+\frac{jt}+\frac{(jt)^2}{2!}+\frac{(jt)^3}{3!}+... ...t\{x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{t^7}{7!}+\cdots\right\} \end{eqnarray*}$$

と表される。 この実数部と虚数部は、それぞれ、 $\cos t,\ \sin t$のマクローリン展開

$$\begin{eqnarray*} \cos t &=& 1-\frac{1}{2!}t^2+\frac{1}{4!}t^4-\frac{1}{6!}t^6... ...-\frac{1}{7!}t^7+\cdots +(-1)^n\frac{1}{(2n+1)!}t^{2n+1}+\cdots \end{eqnarray*}$$

と一致する (http://www.ee.t-kougei.ac.jp/tuushin/lecture/math/complex/derivative/maclaurin.html#example) 。 したがって、

$$\begin{eqnarray*} e^{jt}=\cos t+j\sin t \end{eqnarray*}$$

と指数関数を三角関数を用いて表すことができる。 この関係式はオイラー(Euler)の式と呼ばれている。

オイラーの式に関連して、次の公式がよく用いられる:

$$e^{\pm xj}=\cos x\pm j\sin x$$

これらの式を三角関数について解いて、

$$\begin{eqnarray*} \cos x &=& \frac{1}{2}\{e^{jx}+e^{-jx}\}\\ \sin x &=& \frac{1}{2j}\{e^{jx}-e^{-jx}\} \end{eqnarray*}$$

が得られる。

オイラーの式を用いれば、複素数を

$$z = re^{j\theta}$$

と極形式で表すことができる。ただし、 $r=\vert z\vert,\ \theta=\angle{z}$を意味する。