オイラーの式と三角関数の公式

指数関数の性質から、

$$e^{j(\theta_1+\theta_2)} =e^{j\theta_1}\times e^{j\theta_2}$$

が成り立つ。 この両辺の実数部を比較すると、

$$\begin{eqnarray*} \cos(\theta_1+\theta_2) &=& \mbox{Re}[(\cos\theta_1+j\sin\theta_1)(\cos\theta_2+j\sin\theta_2)] \end{eqnarray*}$$

である。右辺を展開して実数部を取り出すと三角関数の公式が得られる:

$$\begin{eqnarray*} \lefteqn{\cos(\theta_1+\theta_2)}\\ &=& \mbox{Re}[\cos\the... ..._2] \\ &=& \cos\theta_1\cos\theta_2-\sin\theta_1\sin\theta_2 \end{eqnarray*}$$