Subsections

• 6.1 行列関数の練習
• 6.2 行列関数の応用
  • 6.2.1 演習
  
  
• 6.3 行列の演算
• 6.4 行列の要素に対する操作
  • 6.4.1 要素の取り出し等
  • 6.4.2 要素の演算
  • 6.4.3 練習
  
  
• 6.5 行列の共役転置
  • 6.5.1 練習
  • 6.5.2 演習

6 行列とベクトル(2)

6.1 行列関数の練習

行列式(determinant)や逆行列(inverse)を求めることができます。 先ほどのファイルの最後に以下の２式を書き込んでみましょう。

H3 = det(H2)
H4 = inv(H2)

と入力します。``H1- H2'', ``H1 + H2'', ``H1 * H2'' は、削除しておいても 結構です。

新しいファイル名''ex_2.m''等のファイル名で保存しましょう。

実行してみてください。

octave ex_2.m 
GNU Octave, versi.0.16 (i386-vine-linux-gnu).
Copyright (C) 1996, 1997, 1998, 1999, 2000 John W. Eaton.
This is free software with ABSOLUTELY NO WARRANTY.
For details, type `warranty'.

H1 =

  1  2  3
  4  5  6
  7  8  9

H2 =

  12  12  13
  14  15  16
  17  18  19

H3 = -3.0000
H4 =

   1.00000  -2.00000   1.00000
  -2.00000  -2.33333   3.33333
   1.00000   4.00000  -4.00000

>

ちなみに、``H1''の行列式は''0''に なるので、``H1''の逆行列は求まりません。

求めた逆行列が本当に正しいかどうかを確かめてみましょう。 そう、2つの行列の積を計算し、単位行列になるかどうか調べてみます。

以下は実行結果です。

> octave ex_3.m 
GNU Octave, version 2.0.16 (i386-vine-linux-gnu).
Copyright (C) 1996, 1997, 1998, 1999, 2000 John W. Eaton.
This is free software with ABSOLUTELY NO WARRANTY.
For details, type `warranty'.

H1 =

  1  2  3
  4  5  6
  7  8  9

H2 =

  12  12  13
  14  15  16
  17  18  19

H3 = -3.0000
H4 =

   1.00000  -2.00000   1.00000
  -2.00000  -2.33333   3.33333
   1.00000   4.00000  -4.00000

ans =

  1.00000  0.00000  0.00000
  0.00000  1.00000  0.00000
  0.00000  0.00000  1.00000


>

確かに計算結果が単位行列になっていることが分かります。

6.2 行列関数の応用

それでは、以下の連立方程式を解いてみましょう。 手計算で行うのはやっかいです。

$$\begin{eqnarray*} 3 x + 4 y - 2 z &=& 24 \\ -12 x + 8 y - 6 z &=& -35 \\ 15 x - 6y + 8 z &=& 33 \end{eqnarray*}$$

これは行列を作り、以下のように考えます。

$$\left( \begin{array}{ccc} 3 & 4 & -2 \\ -12 & 8 & -6 \\ 15... ...\left( \begin{array}{c} 24 \\ -35 \\ 33 \end{array} \right)$$ (3)

ここで、式の両辺に左辺の逆行列を乗算します。

$${\left( \begin{array}{ccc} 3 & 4 & -2 \\ -12 & 8 & -6 \\ 1... ...eft( \begin{array}{c} 24 \\ -35 \\ 33 \end{array}\right) \\$$ (4)

上式の左辺の行列部分は単位行列になるので、$x,y,z$を求めることができます。

$$\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}\right) = {... ... \left( \begin{array}{c} 24 \\ -35 \\ 33 \end{array}\right)$$ (5)

今の手順を``Octave''で行ってみましょう。 新しいファイルを作成し実行してみましょう。

ここでは、ファイル名``ex_4.m''で保存したと仮定します。 それでは実行してみます。

> octave ex_4.m 
GNU Octave, version 2.0.16 (i386-vine-linux-gnu).
Copyright (C) 1996, 1997, 1998, 1999, 2000 John W. Eaton.
This is free software with ABSOLUTELY NO WARRANTY.
For details, type `warranty'.

A =

    3    4   -2
  -12    8   -6
   15   -6    8

B =

   24
  -35
   33

C =

   0.137255  -0.098039  -0.039216
   0.029412   0.264706   0.205882
  -0.235294   0.382353   0.352941

X =

   5.4314
  -1.7647
  -7.3824

>

いとも簡単に答がでてしまいました。

6.2.1 演習

以下の方程式を解いてください。

$$\begin{eqnarray*} 3.8 x + 6.4 y - 20 z &=& 2.49 \\ -12.9 x + 9.8 y - 65 z &=& -3.5 \\ 1.5 x - 3.6y + 8.8 z &=& 3.3 \end{eqnarray*}$$

6.3 行列の演算

2つの行列の各要素の足し算、引き算はできるようになったが、 かけ算はどうするか？

つまり

$$\begin{eqnarray*} A &=& [1 2 3 4 5] \\ B &=& [ 5 4 3 2 1 ] \\ ... ... \times 2 \hspace{1em} 5 \times 1 ] \\ &=& [5 8 9 8 5] \end{eqnarray*}$$

とするにはどうすればよいか。

octave:45> A =[1 2 3 4 5]
A =

  1  2  3  4  5

octave:46> B = [ 5 4 3 2 1 ]
B =

  5  4  3  2  1

octave:47> C=A*B
error: operator *: nonconformant arguments (op1 is 1x5, op2 is 1x5)
error: evaluating assignment expression near line 47, column 2

エラーになってしまう。

実は ``*'' ではなく ``.*''を利用します。すなわち、ドットをつけて下さい。

octave:47> C=A.*B
C =

  5  8  9  8  5

それでは全ての要素を3乗するにはどうするか？

octave:48> D = A.*A.*A
D =

    1    8   27   64  125

または、

octave:49> D=A.**3
D =

    1    8   27   64  125

6.4 行列の要素に対する操作

6.4.1 要素の取り出し等

行列の要素を取り出す場合は、どのようにすればよいでしょうか。 例えば以下の行列を用意します。``gedit''などのエディターを立ち上げて入力 してみましょう。

$$\begin{eqnarray*} A &=& [15 25 35 45 55 65 75 85 95 105] \\ \end{eqnarray*}$$

[nisimiya]$ gedit gyouretsu_1.m &

試しに以下のように打ち込んでみましょう。

保存して実行してください。

[nisimiya]$ octave gyouretsu_1.m
GNU Octave, version 2.0.16 (i386-vine-linux-gnu).
Copyright (C) 1996, 1997, 1998, 1999, 2000 John W. Eaton.
This is free software with ABSOLUTELY NO WARRANTY.
For details, type `warranty'.

ans = 15
ans = 55
ans = 50

``Octave''では、行列も関数と同じように扱うことができる。 n個目の要素はA(n)などとすれば取り出せる。 ここで、行列のサイズと各要素の和を求める関数も確認しておきましょう。 それぞれ ``size(A), sum(A)''と打ち込みます。

実行してみて下さい。

[nisimiya]$ octave gyouretsu_1.m
GNU Octave, version 2.0.16 (i386-vine-linux-gnu).
Copyright (C) 1996, 1997, 1998, 1999, 2000 John W. Eaton.
This is free software with ABSOLUTELY NO WARRANTY.
For details, type `warranty'.

ans = 15
ans = 55
ans = 50
okisa =

  1  9

goukei = 525

sizeが1行9列、各要素の合計が525となりました。

次にn行m列の行列の場合はどうすればよいか。

$${\left( \begin{array}{cccc} 11 & 12 & 13 &14 \\ 21 & 22 & 2... ...& 33 & 34 \\ 41 & 42 & 43 & 44 \end{array}\right)} \nonumber$$

以下のように保存して実行してみましょう。

B = [11 12 13 14; 21 22 23 24; 31 32 33 34; 41 42 43 44]
B(1,3)
B(3,2)
B(3,3) + B(1,4)

ookisa = size(B)

これは、エディター上のリストです。 ファイル名を ``gyouretsu_2.m''などとして、保存してみましょう。 実行は以下のようにします。

[nisimiya]$ octave gyouretsu_2.m
GNU Octave, version 2.0.16 (i386-vine-linux-gnu).
Copyright (C) 1996, 1997, 1998, 1999, 2000 John W. Eaton.
This is free software with ABSOLUTELY NO WARRANTY.
For details, type `warranty'.

B =

  11  12  13  14
  21  22  23  24
  31  32  33  34
  41  42  43  44

ans = 13
ans = 32
ans = 47
ookisa =

  4  4

それぞれ1行３列、3行2列など、表示されています。 行列のサイズも表示されています。

6.4.2 要素の演算

行列に作用させ、平均値や標準偏差などを求める関数用意されておりま す。これらを以下に示します。かっこ内はベクトルです。

最小値	min(x)
最大値	max(x)
総和	sum(x)
平均	mean(x)
標準偏差	std(x)
総積	prod(x)

例えば、以下の行列の要素の最大値、最小値、総和、平均、標準偏差、総積を求 めてみよう。

A = [2  4  6  8  10  12 14 16]
saidai = max(A)
saisho = min(A)
souwa = sum(A)
heikin = mean(A)
hensa = std(A)
souseki = prod(A)



(実行結果)

A =

   2   4   6   8  10  12  14  16

saidai = 16
saisho = 2
souwa = 72
heikin = 9
hensa = 4.8990
souseki = 10321920

6.4.3 練習

1. 数列の和 $1 + 2 + \cdots + 10$を計算せよ。

   (解答例 1)
   A = [1 2 3 4 5 6 7 8 9 10]
   B=sum(A)
   
   (解答例 2)
   A = 1:1:10
   sum(A)
   

   "A = 1:1:10" と言うのは、A = [1 2 3 4 5 6 7 8 9 10] とまったく同じ意味になります。 すなわち、``1''からスタートし ``1'' きざみで ``10''までの行列(1行の)を作る ときのコマンドです。

2. 数列の和 $0.1 + 0.2 + 0.3 + \cdots + 99.9 +100$ を計算せよ。

6.5 行列の共役転置

先ほどの行列Bの共役転置を求めてみましょう。

B = [11 12 13 14; 21 22 23 24; 31 32 33 34; 41 42 43 44]
C = B'

上記リストをエディターで作成し、実行させると転置行列が求まる。 下記の実行例は、ファイル名``gyouretsu_3.m''で保存した場合です。

[nisimiya]$ octave gyouretsu_3.m
GNU Octave, version 2.0.16 (i386-vine-linux-gnu).
Copyright (C) 1996, 1997, 1998, 1999, 2000 John W. Eaton.
This is free software with ABSOLUTELY NO WARRANTY.
For details, type `warranty'.

B =

  11  12  13  14
  21  22  23  24
  31  32  33  34
  41  42  43  44

C =

  11  21  31  41
  12  22  32  42
  13  23  33  43
  14  24  34  44

6.5.1 練習

1. ベクトルA=[2 4 6 8]とB=[ 4 8 10 7]の内積を求めよ。

   (解答例)

   リスト：
   
   A=[2 4 6 8];
   B=[ 4 8 10 7];
   
   A * B'
   
   実行例：
   [nisimiya]$ octave ex_vec1.m
   GNU Octave, version 2.0.16 (i386-vine-linux-gnu).
   Copyright (C) 1996, 1997, 1998, 1999, 2000 John W. Eaton.
   This is free software with ABSOLUTELY NO WARRANTY.
   For details, type `warranty'.
   
   ans = 156
   

2. ベクトルA=[2 4 6 8 9 -7] の大きさを求めよ。

   (解答例)

   ######### program ###############
   A=[2 4 6 8 9 -7]
   
   B = A * A'
   sqrt(B)
   #################################
   
   実行例：
   [nisimiya]$ octave ex_vec2.m
   GNU Octave, version 2.0.16 (i386-vine-linux-gnu).
   Copyright (C) 1996, 1997, 1998, 1999, 2000 John W. Eaton.
   This is free software with ABSOLUTELY NO WARRANTY.
   For details, type `warranty'.
   
   B = 250
   ans = 15.811
   

6.5.2 演習

1. ベクトルA=[2 4 6 8 9 ] の大きさを求めよ。(数学ではベクトルの大 きさを$\vert A\vert$と表記する。)
2. ベクトルB=[1 3 -6 8 -10]の大きさを求めよ。
3. ベクトルA=[2 4 6 8 9 ]とB=[1 3 -6 8 -10]の内積を求めよ。(数学では 内積を $A\cdot B$ と表記する。)
4. $\frac{ \displaystyle A\cdot B}{\displaystyle \vert A\vert \vert B\vert}$を計算せよ。