複素フーリエ変換

オイラーの式を利用すれば、三角関数の代わりに指数関数を用いて 展開することもできる。

$$e^{\frac{2n\pi j}{T} t}=\cos\frac{2n\pi}{T}t+j\sin\frac{2n\pi}{T}t ,\quad(n=0,1,2,\cdots)$$

も直交完備な関数列であるので、 周期$T$の周期関数$F(t)$を

$$F(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty}C_n e^{\frac{2n\pi j}{T}t}$$

と展開することができる。

ただし、複素関数の場合は内積を

$$\langle{f(t),g(t)}\rangle =\int_0^T\overline{f(t)}\times g(t)dt$$

と定義する。ここで、 $\overline{f(t)}$は$f(t)$の複素共役を意味する。

この指数関数の内積は

$$\langle{e^{\frac{2n\pi j}{T}t},e^{\frac{2m\pi j}{T}t}}\rang... ...begin{array}{ll} T& (n=m)\\ 0& (n\ne m) \end{array}\right.$$

と表せるから、 指数関数と$F(t)$の内積より、

$$\langle{e^{\frac{2k\pi j}{T}t},F(t)}\rangle =C_k\langle{e^{\frac{2k\pi j}{T}t},e^{\frac{2k\pi j}{T}t}}\rangle$$

であり、展開係数$C_k$は

$$C_k = \frac{1}{T}\int_0^{T} e^{-\frac{2k\pi j}{T}t}F(t)dt,\qquad(k=0,\pm1,\pm2,\cdots)$$

と表せる。