[問題]

- 次の関数をフーリェ級数に展開せよ：

$$f(t)=\left\{ \begin{array}{ll} 1,& 2m\pi<t<(2m+1)\pi\\ 0,& (2m-1)\pi < t< 2m\pi, \end{array} \right.$$ (1)

$m=0, \pm1, \pm2, \cdots$.

周期は$T=2\pi$であるから、

$$f(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}A_n e^{jnt}$$ (2)

と展開する。

式(1)の左辺に(2)を代入し、 $-\pi\le t\le\pi$で積分すると、

$$\sum_{n=-\infty}^{+\infty}A_n\int_{-\pi}^{\pi}e^{jnt}dt =\int_0^{\pi}dt$$

$$2\pi A_0 = \pi\quad\Rightarrow\quad A= \frac{1}{2}$$

式(1)の左辺に(2)を代入し、 $e^{-jkt}$をかけ算し($k\ne0$)、 $-\pi\le t\le\pi$で積分すると、

$$\sum_{n=-\infty}^{+\infty}A_n\int_{-\pi}^{\pi}e^{j(n-k)t}dt =\int_0^{\pi}e^{-jkt}dt$$

$$\begin{eqnarray*} 2\pi A_k &=& -\frac{1}{jk}\left[e^{-jkt}\right]_0^{\pi}\\ A... ...rac{1}{k\pi j}&(k=\pm1, \pm3, \pm5, \cdots) \end{array} \right. \end{eqnarray*}$$

したがって、

$$\begin{eqnarray*} f(t)&=& \frac{1}{2}+\frac{1}{\pi j}(e^{jt}-e^{-jt}) +\frac{1... ...}{2} +\frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2k-1}\sin(2k-1)t \end{eqnarray*}$$