問題

$$f(t)=\left\{ \begin{array}{ll} 1& (0\le t\le 1)\\ 0& (1<t<2) \end{array} \right.$$

を複素フーリェ変換を用いて展開せよ。

[解答]

周期は$T=2$であるから、

$$f(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}C_ne^{n\pi jt}$$

と展開する。

このとき、展開係数は

$$\begin{eqnarray*} C_n&=& \frac{1}{2}\langle{e^{n\pi jt},f(t)}\rangle \\ &=& \... ...c{1}{n\pi j},& (n=\pm1, \pm3, \pm5, \cdots) \end{array} \right. \end{eqnarray*}$$

したがって、

$$\begin{eqnarray*} f(t)&=& \frac{1}{2}+\frac{1}{\pi j}(e^{\pi jt}-e^{-j\pi jt}) ... ...\pi t+\frac{2}{3\pi}\sin3\pi t +\frac{2}{5\pi}\sin5\pi t+\cdots \end{eqnarray*}$$