パルス関数

パルス関数

$$f(t)=\left\{ \begin{array}{ll} 1,& 0\le t\le 1\\ 0,& 1<t<2 \end{array} \right.$$

をフーリエ級数に展開する。

$T=2$であるから、

$$f(t)=A_0+\sum_{n=1}^{\infty} \left\{ A_n\cos{n\pi t}+B_n\sin{n\pi t}\right\}$$

と展開することができて、

$$\begin{eqnarray*} A_0&=& \frac{1}{2}\int_0^2 f(t)dt\\ &=& \frac{1}{2}\int_0^1... ...\cdots)\\ \frac{2}{n\pi}&(n=1,3,5,\cdots) \end{array} \right. \end{eqnarray*}$$

となる。したがって、

$$\begin{eqnarray*} f(t)&=& \frac{1}{2}+\frac{2}{\pi}\sin\pi t+\frac{2}{3\pi}\sin... ...2}+\frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2k-1}\sin(2k-1)\pi t \end{eqnarray*}$$

と展開できる。

この無限級数を第$n$項までで打ち切って近似した

$$\begin{eqnarray*} f_n(t)&=& \frac{1}{2}+\frac{2}{\pi}\sin\pi t+\frac{2}{3\pi}\s... ...c{1}{2}+\frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2k-1}\sin(2k-1)\pi t \end{eqnarray*}$$

を計算した結果を図に示す。

図 1: ステップ関数のフーリエ級数展開

打ち切り項数： $n=100$

打ち切り項数: $n=100$(緑色)、 $n=1000$(赤色)

図の細かい振動はギップス(Gibbs)現象として呼ばれ、打ち切り項数 $n$を大きくしてもなくならないことが知られている。

なお、このフーリエ級数展開の二乗誤差ノルムは

$$\begin{eqnarray*} \Vert\delta_{2n-1}(t)\Vert^2 &=& 1-2A_0^2-\sum_{k=0}^{n}(A_... ... &=& \frac{1}{2}-\frac{4}{\pi^2}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(2k-1)^2} \end{eqnarray*}$$

となる。 この自乗誤差は$1/n$のオーダで減少し0に漸近する( $\delta^2_n=O(1/n)$)。