別解II

$$I=\int\sin2x\cos xdx$$

[部分積分のくり返し]

$$f'_1=\sin2x,\qquad g_1=\cos x$$

と置くと、

$$f_1=\int\sin2xdx=-\frac{1}{2}\cos2x,\qquad g'_1=-\sin x$$

であるから、

$$\begin{eqnarray*} I&=& \int\underbrace{\sin2x}_{f'_1}\times \underbrace{\cos x... ...dx\\ &=&-\frac{1}{2}\cos2x\cos x-\frac{1}{2}\int\cos2x\sin xdx \end{eqnarray*}$$

さらに、

$$f'_2=\cos2x,\qquad g_2=\sin x$$

と置いて部分積分する。

$$f_2=\int\cos2xdx=\frac{1}{2}\sin2x,\qquad g'_2=\cos x$$

であるから、

$$\begin{eqnarray*} \lefteqn{ \int\underbrace{\cos2x}_{f'_2}\times \underbrace{... ...e{\cos x}_{g'_2}dx\\ &=& \frac{1}{2}\sin2x\sin x-\frac{1}{2}I \end{eqnarray*}$$

と変形できるので、

$$\begin{eqnarray*} I&=& -\frac{1}{2}\cos2x\cos x -\frac{1}{4}\sin2x\sin x+\frac... ...}\sin x\sin2x\\ I&=&-\frac{1}{3}(2\cos2x\cos x+\sin2x\sin x)+C \end{eqnarray*}$$