別解I

$$I=\int\sin2x\cos xdx$$

[部分積分のくり返し]

$$f_1=\sin2x,\qquad g'_1=\cos x$$

と置くと、

$$f'_1=2\cos2x,\qquad g_1=\int\cos xdx=\sin x$$

であるから、

$$\begin{eqnarray*} I&=& \int\underbrace{\sin2x}_{f_1}\times \underbrace{\cos x}... ...derbrace{\sin x}_{g_1}dx\\ &=&\sin2x\sin x-2\int\cos2x\sin xdx \end{eqnarray*}$$

さらに、

$$f_2=\cos2x,\qquad g'_2=\sin x$$

と置いて部分積分する。

$$f'_2=-2\sin2x,\qquad g_2=\int\sin xdx=-\cos x$$

であるから、

$$\begin{eqnarray*} \lefteqn{ \int\underbrace{\cos2x}_{f_2}\times \underbrace{\... ...\times \underbrace{(-\cos x)}_{g_2}dx\\ &=& -\cos2x\cos x-2I \end{eqnarray*}$$

と変形できるので、

$$\begin{eqnarray*} I&=&\sin2x\sin x+2\cos2x\cos x+4I\\ -3I&=& \sin2x\sin x+2\cos2x\cos x\\ I&=&-\frac{1}{3}(\sin2x\sin x+2\cos2x\cos x)+C \end{eqnarray*}$$