マトリクスの積

$$\left[\matrix{a_{11}&a_{12}\cr a_{21}&a_{22}}\right] + \left... ...ht] = \left[\matrix{2a_{11}&2a_{12}\cr 2a_{21}&2a_{22}}\right]$$

となるので、

$$2 \left[\matrix{a_{11}&a_{12}\cr a_{21}&a_{22}}\right] = \left[\matrix{2a_{11}&2a_{12}\cr 2a_{21}&2a_{22}}\right]$$

と表すことができる。 マトリクスのスカラ倍を

$$k \left[\matrix{a_{11}&a_{12}\cr a_{21}&a_{22}}\right] = \l... ...a_{11}&k\times a_{12}\cr k\times a_{21}&k\times a_{22}}\right]$$

などと定義する。

マトリクスとマトリクスの積は複雑である。

$$\begin{eqnarray*} z_1&=& a_{11}y_1+a_{12}y_2\\ z_2&=& a_{21}y_1+a_{22}y_2 \end{eqnarray*}$$

であり、かつ、

$$\begin{eqnarray*} y_1&=& b_{11}x_1+b_{12}x_2\\ y_2&=& b_{21}x_1+b_{22}x_2 \end{eqnarray*}$$

のとき、これらの式から$y_1$, $y_2$を消去すると、

$$\begin{eqnarray*} z_1&=& (a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21})x_1 +(a_{11}b_{12}+a_{12}b... ... (a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21})x_1 +(a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22})x_2 \end{eqnarray*}$$

となるので、

$$\begin{eqnarray*} \left[\matrix{z_1\cr z_2}\right] &=& \left[\matrix{a_{11}&a... ...{12}\cr b_{21}&b_{22}}\right] \left[\matrix{x_1\cr x_2}\right] \end{eqnarray*}$$

より、$y_1$, $y_2$を消去して、

$$\begin{eqnarray*} \left[\matrix{z_1\cr z_2}\right] &=& \left[\matrix{a_{11}&a... ...{12}\cr b_{21}&b_{22}}\right] \left[\matrix{x_1\cr x_2}\right] \end{eqnarray*}$$

と表せることと併せて、

$$\begin{eqnarray*} \lefteqn{ \left[\matrix{a_{11}&a_{12}\cr a_{21}&a_{22}}\rig... ...cr a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21}& a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22} }\right] \end{eqnarray*}$$

と定義する。

「積が定義でにるのは 最初のマトリクスの列数と第２のマトリクスの行数が 等しい場合に限られる」ことに注意する必要がある。

$n$行$\ell$列のマトリクス$A$と$\ell$行$m$列のマトリクス$B$の積 $C=AB$の要素は、

$$c_{ij}=\sum_{k=1}^{\ell}a_{ik}b_{kj},\quad(1\le i\le n,\ 1\le j\le m)$$

と定義される。

一般に、マトリクスの積は交換法則が成り立たないので注意すること。

$$AB\ne BA$$