(6月19日)行列式の展開(まとめ)

行列式は、ある行、または、列に着目することで次数が１つ小さい 行列式の和に展開できる。

$${ \left\vert\matrix{ a_{1,1}a_{1,2}\dotsa_{1,N}\cr a_{2,1}a_{2,2}... ...{2,N}\cr \vdots\vdots\ddots\vdots\cr a_{N,1}a_{N,2}\ldotsa_{N,N} }\right\vert }$$

$$= \sum_{k=1}^{N}a_{i,k}A_{i,k}$$

$$= \sum_{k=1}^{N}a_{k,j}A_{k,j}$$ (2)

ここで、$A_{i,j}$はもとの行列式の余因数と呼ばれ、 もとの行列式の第$i$行と第$j$列を除いた$N-1$次の小行列式 $\Delta_{i,j}$に符合を考慮したものである:

$$A_{i,j}=(-1)^{i+j}\Delta_{i,j}$$

ただし、$\Delta_{i,j}$はもとの行列式から第$i$行と第$j$列を 取り除いた行列式を表す。