行列式の性質を利用した展開による4次の行列式の計算例

(5) $\qquad\displaystyle y= \left\vert\begin{array}{cccc} 1& 2& 2& 1\\ 0& 3& 0&-2\\ 1& 3& 2& 1\\ 2& 0& 3&-1 \end{array}\right\vert$

第4行から $2\times\mbox{(第1行)}$を引き算し、第3行から第1行を引き算する。 (性質5)

$$\begin{eqnarray*} y&=& \left\vert\begin{array}{cccc} 1& 2& 2& 1\\ 0& 3& 0&-2\\ 0& 1& 0& 0\\ 0&-4&-1&-3 \end{array}\right\vert \end{eqnarray*}$$

第1列で展開する。

$$\begin{eqnarray*} y&=& 1\times A_{11} = \left\vert\begin{array}{ccc} 3& 0&-2\\ 1& 0& 0\\ -4&-1&-3 \end{array}\right\vert \end{eqnarray*}$$

第2行で展開する。

$$\begin{eqnarray*} y&=& 1\times A_{21}= -\left\vert\begin{array}{cc} 0&-2\\ -1&-3 \end{array}\right\vert\\ &=&-\{0-(-2)\times(-1)\} = 2 \end{eqnarray*}$$