行列式展開の実際

行列式を展開する際に、要素が0であると小行列式の計算が不要になる。 そこで、0を多く含む行、あるいは、列で展開する。 また、行列式の性質を利用して、0要素を多く含むように変形した後に 展開すると計算量が少なくてすむ。

[例3.7(b)]

$$\begin{eqnarray*} y&=&\left\vert\matrix{ 1&2&2&1\cr 0&3&0&-2\cr 1&3&-2&1\cr 2&0&3&-1 }\right\vert \end{eqnarray*}$$

第2行に0が2つ存在するので、この行で展開すると小行列式の計算が 2つで済む。

しかし、 第3行から第1行を引き算し、 第4行から第1行の2倍を引き算すると、 行列式の性質５から次のように変形できる:

$$\begin{eqnarray*} y&=& \left\vert\matrix{ 1&2&2&1\cr 0&3&0&-2\cr 0&1&-4&0\cr 0&-4&-1-3 }\right\vert \end{eqnarray*}$$

ここで、第1列で展開すれば、1行1列の小行列式の計算のみで結果が得られる:

$$\begin{eqnarray*} y&=& \left\vert\matrix{ 3&0&-2\cr 1&-4&0\cr -4&-1&-3 }\right\vert \end{eqnarray*}$$

第1列の4倍を第2列に加え、第2行で展開すると、

$$\begin{eqnarray*} y&=& \left\vert\matrix{ 3&12&-2\cr 1& 0&0\cr -4&-17&-3 }... ...ight\vert\\ &=&2\times(6\times3+17) \\ &=&2\times(18+17)=70 \end{eqnarray*}$$