二乗誤差

直交完備な関数列 $\{\phi_k(t), t=1,2,3\cdots\}$による級数展開

$$F(t)=\sum_{k=1}^{\infty}C_k\phi_k(t)$$

を$n$項までの有限項で打ち切って近似した

$$F_n(t)=\sum_{k=1}^{n}C_k\phi_k(t)$$

の近似誤差を

$$\delta_n=\sqrt{\Vert F_n(t)-F(t)\Vert}$$

と定義する。

このとき、展開関数の直交性より、

$$\begin{eqnarray*} \delta_n^2&=& \langle{\{F(t)-\sum_{k=1}^nC_k\phi_k(t)\}, \{... ...\ &=& \Vert F(t)\Vert^2-\sum_{k=1}^nC_k^2\Vert\phi_k(t)\Vert^2 \end{eqnarray*}$$

と変形できる。したがって、二乗誤差ノルムは$n$の増加とともに単調に減少す る。