展開係数

関数列$\{\phi_n(t)\}$を$0\le t\le T$で定義された、 完備な直交関数列であるとする。 任意の関数$F(t)$を

$$F(t)=\sum_{n}C_n \phi_n(t)$$

と展開するときの係数$C_n$は次のようにして求まる。 上式の両辺の$\phi_k(t)$との内積を取ると、$\{\phi_n(t)\}$の直交性より、

$$\begin{eqnarray*} \langle{\phi_k(t),F(t)}\rangle &=& \sum_{n}C_n\langle{\phi_k(t),\phi_n(t)}\rangle \\ &=& C_k\Vert\phi_k(t)\Vert^2 \end{eqnarray*}$$

が得られる。これより、

$$C_k = \frac{\langle{\phi_k(t),F(t)}\rangle }{\Vert\phi_k(t)\Vert^2}$$

が求まる。