別解

$${x\frac{dy}{dx}=y+x^3e^x}$$

非同次一階線形微分方程式

$$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$$

の解

$$y=e^{-\int P(x)dx}\left\{\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C\right\}$$

において、

$$P(x)=-\frac{1}{x},\qquad Q(x)=x^2e^x$$

と置く。

$$\begin{eqnarray*} \lefteqn{\int P(x)dx} \\ &=&-\int\frac{dx}{x}\\ &=& -\lo... ... &=& \int xe^{x}dx\\ &=& xe^{x}-\int e^xdx\\ &=& (x-1)e^{x} \end{eqnarray*}$$

であるから、

$$y=x\left\{(x-1)e^x+C\right\}$$