解答

$${x\frac{dy}{dx}=y+x^3e^x}$$

非同次一階線形微分方程式

1. 余関数を求める。
   
   $$x\frac{dy_c}{dx}=y_c$$
   
   
   を解く。
   
   $$\frac{dy_c}{y_c}=\frac{dx}{x}$$
   
   
   両辺を積分して、
   $$\begin{eqnarray*} \log y_c &=& \log x+C\\ y_c &=& Ax \end{eqnarray*}$$
   
   

2. もとの方程式の解を
   
   $$y= x\times u(x)$$
   
   
   と表してみる。(定数変化法)
   
   $$x\frac{d}{dx}\left\{xu(x)\right\}=xu(x)+x^3e^x$$
   
   
   を整理して、
   
   $$x^2\frac{du(x)}{dx}=x^3e^x$$
   
   
   $$\begin{eqnarray*} \frac{du(x)}{dx}&=& xe^x\\ u(x)&=&\int xe^xdx\\ &=& \int ... ...e^{x}-e^x+C\\ &=& (x-1)e^x+C\\ y&=& xu(x)\ =\ x(x-1)e^{x}+Cx \end{eqnarray*}$$