解説

$${\frac{d^2y}{dx^2}+3\frac{dy}{dx}+2y=10\cos x\\ (\mbox{初期条件:\ y(0)=y'(0)=0})}$$

解を求めるまでの手順

1. 余関数$y_c$を求める。
2. 特解$y_p$を求める。
3. 一般解: $y=y_c+y_p$
4. 初期条件を満足するよう積分定数の値を求める。

定係数の同次二階線形微分方程式の解法

$$y''+p_1 y'+ p_0 y=0$$

解を$y=e^{mx}$と仮定し、上の方程式に代入して定数$m$を決定する。

$$m^2+p_1 m+p_2 =0\qquad(\mbox{特性方程式})$$

特性方程式の解によって$y$の表現式は次の3つに分類される。

1. 異なる2つの実数解($m=m_1,\ m_2$):

   同次線形微分方程式の解の性質より、
   

   $$y = Ae^{m_1 x}+Be^{m_2x}$$
   
   
   ただし、A, Bは任意の定数(積分定数)である。
2. 重解($m=m_0$):
   
   $$y = (Ax+B)e^{m_0 x}$$
   
   

3. 複素解( $m=\alpha\pm j\beta$):
   $$\begin{eqnarray*} y&=& Ae^{(\alpha+j\beta)x}+Be^{(\alpha-j\beta)x}\\ &=& (Ae^{j\beta x}+Be^{-j\beta x})e^{\alpha x} \end{eqnarray*}$$
   
   
   あるいは、オイラーの式を利用して、
   
   $$y =(C\cos\beta x+D\sin\beta x)e^{\alpha x}$$
   
   
   と表すこともできる。