定係数2階線形微分方程式の解法

$$\frac{d^2y}{dx^2}+p_1 \frac{dy}{dx}+p_2 y = 0$$

解を

$$y=e^{m x}$$

と仮定し、与えられた微分方程式に代入して整理する。

$$\left(e^{m x}\right)''+p_1\left(e^{m x}\right)'+p_2 e^{m x}=0$$

$$m^2 e^{m x}+p_1m e^{m x}+p_2 e^{m x}=0$$

$$(m^2 +p_1m+p_2) e^{m x}=0$$

上の式がどのような$x$についても成立するには、

$$m^2 +p_1m+p_2=0$$

であればよい。これをもとの方程式の特性方程式と呼ぶ。

特性方程式は2次方程式であるから、解が2つ存在する。 いま、この解を$m_1$, $m_2$と表すと、

$$y = e^{m_1 x}, \qquad y = e^{m_2 x}$$

のどちらも元の微分方程式を満足する（解である）。

線形微分方程式の性質から、複数の解の線形和(定数をかけ算して加え合わせたもの)も 解となる(もとの微分方程式に代入してみれば、左辺が右辺と等しく 0 となる)。

したがって、求める方程式の解は、

$$y = A e^{m_1x}+Be^{m_2x}$$

である。ただし、$A, B$は任意の定数である。

ここで、特性方程式の解が

• 複素解の場合:
  
  $$m = m_r\pm jm_i$$
  
  
  であるとき($p_1, p_2$が実数なら、2つの複素解は互いに複素共役になる。)、 オイラー(Euler)の式
  
  $$e^{\pm jm_i x}=\cos m_i x \pm j\sin m_i x$$
  
  
  より、解は
  $$\begin{eqnarray*} y&=& A e^{(m_r+jm_i)x}+Be^{(m_r-jm_i)x}\\ &=& e^{m_r x} \l... ... &=& e^{m_r x} \left\{ C\cos m_i x + D\sin m_i x \right\} \end{eqnarray*}$$
  
  
  と変形できる。 ただし、 $C[=A+B], D[=j(A-B)]$は定数である。
• $m_1=m_2$の場合:

  $e^{m_1x}$と$e^{m_2x}$が同じ関数となる。 このような場合を解が縮退しているという。

  
  

  $$y = Ae^{m_1x}+Be^{m_2x} = A(e^{m_1x}-e^{m_2x})+(A+B)e^{m_2x}$$
  
  
  において、$m_1\to m_2$とすると、右辺の第1項が0となる。

  積分定数は$x$に依らない任意の定数であるから、 $$A=\frac{C}{m_1-m_2}$$として、右辺の第1項が 定数に収束するように積分定数を選ぶ。 このとき、

  $$\begin{eqnarray*} y &=& C\times\frac{e^{m_1x}-e^{m_2x}}{m_1-m_2}+De^{m_2x}\\ &\to& Cxe^{m_2}+De^{m_2x},\quad(m_1\to m_2) \end{eqnarray*}$$
  
  
  が得られる。 したがって、方程式の解は$e^{m_2x}$と$xe^{m_2x}$の 線形和
  
  $$y = (Cx+D)e^{m_2 x}$$
  
  
  である。

$$\lim_{m_1\to m_2}\frac{e^{m_1x}-e^{m_2x}}{m_1-m_2}=xe^{m_2x}$$

[証明] $m_2=t$, $m_1=t+h$, $x=a$と置き換えると左辺は、

$$\begin{eqnarray*} \lim_{h\to0}\frac{e^{a(t+h)}-e^{at}}{h} &=& \frac{d}{dt}\left\{e^{at}\right\} \ =\ ae^{at} \end{eqnarray*}$$

と変形できることから右辺が導出される。