定係数同次線形微分方程式の解法

線形微分方程式の係数がすべて定数である場合には、簡単な解法が知られている。 解を

$$y=e^{m x}$$

と仮定し、もとの微分方程式に代入すると、$m$についての 代数方程式が得られる。(補助方程式)

これを解いて、定数$m$を決定する。

$$\frac{d^2y}{dx^2}+5\frac{dy}{dx}+6=0$$

解を指数関数$y=e^{mx}$と仮定して、上の微分方程式に代入し、整理する。 このとき、指数関数の微分は係数の値が変わることを除いて同じ指数関数である ことから、

$$m^2e^{mx}+5me^{mx}+6e^{mx}=0$$

$$m^2+5m+6=0$$

$$(m+2)(m+3)=0$$

$$m=-2,\ -3$$

同次線形微分方程式の性質を利用して、

$$y=Ae^{-2x}+Be^{-3x}$$