解答

$${\frac{d^2y}{dx^2}+3\frac{dy}{dx}+2y=10\cos x\\ (\mbox{初期条件:\ y(0)=y'(0)=0})}$$

非同次定係数二階線形微分方程式

1. 余関数:
   
   $${y_c}''+3{y_c}'+2y_c=0$$
   
   
   を解く。 特性方程式を解くと、
   
   $$m^2+3m+2=0$$
   
   
   
   
   $$(m+2)(m+1)=0\quad\Rightarrow\quad m=-2, -1$$
   
   
   が得られるので、
   
   $$y_c = C_1e^{-2x}+C_2e^{-x}$$
   
   
   ここで、$C_1, C_2$は積分定数である。
2. 特解
   
   $$y_p = A\cos x+B\sin x$$
   
   
   と仮定し、もとの微分方程式に代入し$y_p$が解となるよう係数A, Bを定 める。
   $$\begin{eqnarray*} {y_p}'&=& -A\sin x+B\cos x\\ {y_p}''&=&-A\cos x-B\sin x \end{eqnarray*}$$
   
   
   であるから、
   $$\begin{eqnarray*} \lefteqn{ (-A\cos x-B\sin x) +3(B\cos x-A\sin x)}\\ &&2(\cos x+B\sin x)\ =\ 10\cos x \end{eqnarray*}$$
   
   
   したがって、
   $$\begin{eqnarray*} A+3B&=& 10\\ B-3A&=& 0 \end{eqnarray*}$$
   
   
   この方程式を解いて、
   
   $$A=1, \qquad B=3$$
   
   
   以上より、
   
   $$y_p = \cos x+3\sin x$$
   
   

3. 一般解
   
   $$y=y_p+y_c = \cos x+3\sin x+C_1e^{-2x}+C_2e^{-x}$$
   
   

4. 初期条件
   
   $$y(0)=y'(0)=0$$
   
   
   を満足するよう、上で得られた一般解の定数$C_1, C_2$を決定する。
   $$\begin{eqnarray*} y&=& \cos x+3\sin x+C_1e^{-2x}+C_2e^{-x}\\ y'&=&-\sin x+3\c... ...^{-x}\\ y(0)&=& 1+C_1+C_2\ =\ 0\\ y'(0)&=& 3-2C_1-C_2\ =\ 0 \end{eqnarray*}$$
   
   
   以上より、
   
   $$C_1=4,\quad C_2=-5$$
   
   
   したがって、求める解は、
   
   $$y=\cos x+3\sin x+4e^{-2x}-5e^{-x}$$