別解I

$${\frac{dy}{dx}+2xy=x}$$

非同次一階線形微分方程式

$$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$$

の解

$$y=e^{-\int P(x)dx}\left\{\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C\right\}$$

に対して、

$$P(x)=2x,\qquad Q(x)=x$$

を適用する。 このとき、

$$\begin{eqnarray*} \int P(x)dx&=& 2\int xdx\ =\ x^2\\ e^{\pm\int P(x)dx}&=& e^... ...}du,\qquad u=x^2\\ &=&\frac{1}{2}e^u\\ &=&\frac{1}{2}e^{x^2} \end{eqnarray*}$$

であるから、

$$\begin{eqnarray*} y&=& e^{-x^2}\left\{\frac{1}{2}e^{x^2}+C\right\}\\ &=& \frac{1}{2}+Ce^{-x^2} \end{eqnarray*}$$