解答

$${\frac{dy}{dx}+2xy=x}$$

非同次一階線形微分方程式

1. 余関数：
   
   $$\frac{dy_c}{dx}+2xy_c=0$$
   
   
   を解く。
   
   $$\frac{dy_c}{y_c}=-2xdx$$
   
   
   両辺を積分して、
   
   $$\int\frac{dy_c}{y_c}=-2\int xdx$$
   
   
   $$\begin{eqnarray*} \log y_c &=& -x^2+C\\ y_c&=& e^{-x^2+C}\\ &=& e^Ce^{-x^2}\\ &=& Ae^{-x^2} \end{eqnarray*}$$
   
   

2. 上の結果を利用して、もとの方程式の解を
   
   $$y= ue^{-x^2}$$
   
   
   と表してみる。(定数変化法)

   この式を与えられた微分方程式に代入して整理すると、
   

   $$(u'e^{-x^2}-2xue^{-x^2})+2x ue^{-x^2}=x$$
   
   
   
   
   $$u'e^{-x^2}=x$$
   
   
   $$\begin{eqnarray*} u'&=& xe^{x^2}\\ u&=& \int xe^{x^2}dx\\ &=& \frac{1}{2}e^{x^2}+C \end{eqnarray*}$$
   
   
   したがって、
   
   $$y = ue^{-x^2}= \frac{1}{2}+Ce^{-x^2}$$