特解: $y=A\cos x+B\sin x$

$$y_p=A\cos x+B\sin x$$

をもとの微分方程式

$$\frac{d^2y}{dx^2}+2\frac{dy}{dx}+y=2(\cos x+\sin x)$$

のyに代入し、方程式を満足するよう定数A, Bを定める:

$$\begin{eqnarray*} y_p&=&A\cos x+B\sin x\\ y'_p&=&-A\sin x+B\cos x\\ y''_p&=&-A\cos x-B\sin x \end{eqnarray*}$$

であるから、$y_p$を微分方程式に代入して、

$$(-A\cos x-B\sin x)+2(-A\sin x+B\cos x)+(A\cos x+B\sin x)=2(\cos x+\sin x)$$

が成立する必要がある。 これを整理して、

$$\begin{eqnarray*} \begin{array}{lll} y''_p&=&-A\cos x-B\sin x\\ 2y'_p&=&2B\c... ...-----------}\\ y''_p+2y'_p+y_p &&2B\cos x-2A\sin x \end{array}\end{eqnarray*}$$

$$2B\cos x-2A\sin x=2(\cos x+\sin x)$$

したがって、係数を比較して、

$$A=-1,\qquad B=1$$

以上より、

$$y_p=-\cos x+\sin x$$

は与えられた微分方程式の特解である。