初期条件: $y'(0)=y(0)=0$

$$\begin{eqnarray*} y_c&=&(ax+b)e^{-x}\\ y_p&=&-\cos x+\sin x \end{eqnarray*}$$

より、この微分方程式の一般解は

$$y=y_c+y_p=(ax+b)e^{-x}-\cos x+\sin x$$

である。

初期条件を用いて、定数 a, bを決定する。

$$\begin{eqnarray*} y'&=& (ax+b)'e^{-x}+(ax+b)(e^{-x})'-(\cos x)'+(\sin x)'\\ &... ...b)e^{-x}+\sin x+\cos x\\ &=& -\{ax+(b-a)\}e^{-x}+\sin x+\cos x \end{eqnarray*}$$

であるから、 $x=0$での初期条件$y'(0)=y(0)=0$より、

$$\begin{eqnarray*} y(0)&=& \left[(ax+b)e^{-x}-\cos x+\sin x\right]_{x=0}\\ &=&... ...-(ax+b-a)e^{-x}+\sin x+\cos x\right]_{x=0}\\ &=&-(b-a)+1\ =\ 0 \end{eqnarray*}$$

これらをa, bについて解いて、

$$a=0,\qquad b=1$$

したがって、求める解は

$$y = e^{-x}-\cos x+\sin x$$

である。