補助方程式

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- 定係数の同次線形部分方程式

$\begin{displaymath} \frac{d^2y}{dx^2}+a_1 \frac{dy}{dx}+a_0 y = 0 \end{displaymath}$

ただし、

は定数。

解を

$\begin{displaymath} y=e^{mx} \end{displaymath}$

と仮定して、微分方程式に代入し、方程式を満足するように定数mを決定する。

$\begin{displaymath} (e^{mx})''+a_1(e^{mx})'+a_0e^{mx}=0 \end{displaymath}$

$\begin{displaymath} (m^2+a_1m+a_0)e^{mx}=0 \end{displaymath}$

$\begin{displaymath} m^2+a_1m+a_0=0 \end{displaymath}$

うえの方程式をもとの微分方程式の特性方程式と呼ぶ。

特性方程式の解によって、微分方程式の解は次のように分類できる。

$\begin{displaymath} m_1,\ m_2\ =-\frac{1}{2}(a_1\pm\sqrt{a_1^2-4a_0}) \end{displaymath}$

を実数とすると、微分方程式の解は

異なる実数解の場合():

$\begin{displaymath} y=Ae^{m_1x}+Be^{m_2x} \end{displaymath}$
が重解の場合():

$\begin{displaymath} y=(Ax+B)e^{m_0 x} \end{displaymath}$
複素解の場合( $m=\alpha\pm \beta j$ )

$\begin{displaymath} y=(A\cos\beta x+B\sin\beta x)e^{\alpha x} \end{displaymath}$

詳しくは、講義資料3.6.1(p.12)を参照のこと

平成15年12月15日