解説

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変数分離型(1階微分方程式)

$\begin{displaymath} \frac{dy}{dx}=2xy \end{displaymath}$

両辺をyで割り算する。

$\begin{displaymath} \frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=2x \end{displaymath}$

両辺をxで積分すると、

$\begin{displaymath} \int\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}dx=\int 2xdx \end{displaymath}$

左辺は置換積分の場合と同じようにyでの積分に変更できるので、

$\begin{eqnarray*} \mbox{左辺} &=&\int\frac{1}{y}dy\\ &=&\log y+C_1\\ \mbox{右辺} &=&\int2xdx\\ &=&x^2+C_2 \end{eqnarray*}$

したがって、

$\begin{displaymath} \log y+C_1 = x^2+C_2 \end{displaymath}$

$\begin{eqnarray*} \log y&=& x^2+C_2-C_1\\ y&=& e^{x^2+C},\qquad(C=C_2-C_1)\\ &=& e^{C}\times e^{x^2}\\ &=&Ae^{x^2},\qquad(A=e^{C}) \end{eqnarray*}$

$\begin{displaymath} \frac{dy}{dx}=F(x,y) \end{displaymath}$

平成15年12月15日