詳しい解答

$$I=\int x^3\log xdx$$

部分積分

$$\int f'gdx = fg-\int fg'dx$$

において、

$$f'=x^3,\quad g=\log x$$

とする。 (このように置くと、 $$g'=\frac{1}{x}$$となるので、 対数関数がなくなり積分が容易になる可能性がある。)

このとき、

$$\begin{eqnarray*} f&=&\int x^3dx \ =\ \frac{1}{4}x^4+C\\ g'&=&(\log x)'\ =\ \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$$

であるから、

$$\begin{eqnarray*} I&=& \int\underbrace{x^3}_{f'}\times \underbrace{\log x}_{g}... ...}{4}\times\frac{1}{4}x^4+C\\ &=& -\frac{1}{16}x^4(1-4\log x)+C \end{eqnarray*}$$

[注意]

上式で $4\log x -1$と表現すると、$4\log(x-1)$の意味に間違える可能性があるので、 $-(1-4\log x)$と書く。