部分積分

$$\int f'(x)g(x)dx = f(x) g(x) -\int f(x)g'(x)dx+C$$

関数の積の微分

$$\frac{d}{dx}\{f(x) g(x)\} = \frac{df(x)}{dx}g(x)+f(x)\frac{dg(x)}{dx}$$

の両辺を積分する。 積分は微分の逆演算であるから、

$$f(x) g(x)+C = \int\{\frac{df(x)}{dx}g(x)\}dx +\int\{f(x)\frac{dg(x)}{dx}\}dx$$

$$\int\{\frac{df(x)}{dx}g(x)\}dx = f(x) g(x) -\int\{f(x)\frac{dg(x)}{dx}\}dx+C$$

が成立する。

[例]

$$\begin{eqnarray*} \int x e^{-x}dx &=& - \int x \left(\frac{d}{dx}e^{-x}\right)... ...^{-x}dx \\ &=& -x e^{-x}+\int e^{-x}dx\\ &=& -(x+1)e^{-x}+C \end{eqnarray*}$$

$$\begin{eqnarray*} \int \log x dx &=& \int 1\cdot\log x dx %% \\ \ =\ \i... ... &=& x\log x - \int x\cdot\frac{1}{x}dx \\ &=& x\log x - x+C \end{eqnarray*}$$