置換積分

$$\int f(x)dx = \int f(g(t))\frac{dx}{dt}dt = \int f(g(t))g'(t)dt$$

ただし、$x=g(t)$

$$F=\int f(x)dx$$

と表すと、

$$\begin{eqnarray*} \frac{dF}{dt} &=& \frac{dF}{dx}\times\frac{dx}{dt} = f(x)\times g'(t) \end{eqnarray*}$$

両辺を$t$で積分して、

$$F = \int f(x)g'(t)dt= \int f(g(t))g'(t)dt$$

[例1]

$$I=\int (2x+1)^2 dx$$

$t=2x+1$, $x=\displaystyle \frac{t-1}{2}$と置き換えると、

$$\begin{eqnarray*} I&=&\int t^2\times\frac{dx}{dt}dx =\int t^2 \left(\frac{t-1}... ...1}{2}\int t^2dt =\frac{1}{6}t^3+C\\ &=& \frac{1}{6}(2x+1)^3+C \end{eqnarray*}$$

[例2]

$$I=\int \sin3xdx$$

$t=3x$と置き換えて、

$$\begin{eqnarray*} I&=&\int(\sin t)\times\frac{d}{dt}\left(\frac{t}{3}\right)dt ... ...3}\int \sin tdt=-\frac{1}{3}\cos t+C\\ &=&-\frac{1}{3}\cos3x+C \end{eqnarray*}$$

$$\int f(g(x))g'(x)dx= \int f(t)dt$$

$t=g(x)$と置き換えると、

$$\frac{dt}{dx}=g'(x)$$

であるから、

$$f(g(x))g'(x)=f(t)\frac{dt}{dx}$$

したがって、

$$\int f(g(x))g'(x)dx = \int f(t)\frac{dt}{dx}dx=\int f(t)dt$$

[例3]

$$I=\int\frac{2x}{x^2+1}dx$$

$t=x^2+1$と置き換えると、

$$dt=2xdx$$

であるから、

$$\begin{eqnarray*} I&=& \frac{2xdx}{x^2+1}=\int\frac{dt}{t}\\ &=&\log t+C = \log(x^2+1)+C \end{eqnarray*}$$