例題

1. $$\frac{dy}{dx}+2xy=4x^3$$

   補助方程式:
   

   $$\frac{dy_c}{dx}+2xy_c=0$$
   
   
   を解くと、
   
   $$\frac{dy_c}{y_c}=-2xdx$$
   
   
   
   
   $$\log y_c= -x^2+C$$
   
   
   
   
   $$y_c=e^{C-x^2}=Ae^{-x^2}$$
   
   
   であるから、与えられた方程式の解を $y=u(x)e^{-x^2}$と置き換え、 もとの方程式に代入して整理する。
   
   $$\frac{du(x)}{dx}e^{-x^2}=4x^3$$
   
   
   $$\begin{eqnarray*} \frac{du}{dx}&=& 4x^3e^{x^2}\\ u(x)&=&4\int x^2e^{x^2}dx \end{eqnarray*}$$
   
   
   $t=x^2$と置くと、$dt=2xdx$であるから、
   $$\begin{eqnarray*} u(x)&=&2\int \underbrace{t}_{f}\times \underbrace{e^t}_{g'}d... ...s\underbrace{e^t}_{g}dt\\ &=& 2(t-1)e^t+C = 2(x^2-1)e^{x^2}+C \end{eqnarray*}$$
   
   
   したがって、
   $$\begin{eqnarray*} y&=&ue^{-x^2}= 2(x^2-1)+Ce^{-x^2} \end{eqnarray*}$$
   
   
   [別解]
   
   $$y = e^{-\int P(x)dx}\left\{\int Q(x)e^{\int P(x)dx}+C\right\}$$
   
   
   
   
   $$P(x)=2x,\qquad Q(x)=4x^3$$
   
   
   であり、
   $$\begin{eqnarray*} \int P(x)dx&=& 2\int xdx=x^2+C_1\\ \int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx &=& 4\int x^2 e^{x^2}dx\\ &=& 2(x^2-1)e^{x^2}+C_2 \end{eqnarray*}$$
   
   
   であるから、
   $$\begin{eqnarray*} y&=&e^{-x^2}\left\{2(x^2-1)e^{x^2}+C\right\} \\ &=& 2(x^2-1)+Ce^{-x^2} \end{eqnarray*}$$
   
   

2. $$\frac{dy}{dx}+\frac{1}{x}y=2$$

   補助方程式
   

   $$\frac{dy_c}{dx}+\frac{1}{x}y_c=0$$
   
   
   を解く。
   
   $$\frac{dy_c}{y_c}=-\frac{dx}{x}=0$$
   
   
   
   
   $$\log y_c=-\log x+C$$
   
   
   
   
   $$y_c = e^{-\log x+C}=\frac{e^{C}}{x}=\frac{A}{x}$$
   
   
   であるから、解を $$y=\frac{u(x)}{x}$$と置いて 元の方程式に代入して整理する。
   $$\begin{eqnarray*} \frac{du}{dx}&=&2x\\ u&=& \int 2x dx=x^2+C\\ y&=&\frac{u}{x}\ =\ \frac{x^2+C}{x} \end{eqnarray*}$$