一階線形非同次微分方程式

$$\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)$$

を非同次な1階線形微分方程式と呼んでいる。 この方程式は、$q(x)=0$と置き換えて得られる同次微分方程式の解 ($y_c$: 余関数)を利用して次のようにして解くことができる。

同次微分方程式の解

$$y_c(x)=Ae^{-\int p(x)dx}$$

を利用して、解を

$$y=u(x)e^{-\int p(x)dx}$$

と仮定し、もとの方程式に代入して整理する:

$$\begin{eqnarray*} \lefteqn{ \frac{du(x)}{dx}\times e^{-\int p(x)dx} +u(x)\tim... ...}\right\} }\\ &&+p(x)\times u(x)\times e^{-\int p(x)dx} =q(x) \end{eqnarray*}$$

$$\frac{du}{dx}=q(x)e^{\int p(x)dx}$$

$$u(x)=\int q(x)e^{\int p(x)dx}+C$$

したがって、

$$y=e^{-\int p(x)dx}\left\{C+\int q(x)e^{\int p(x)dx}\right\}$$

この解法は定数変化法と呼ばれている。