同次型

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$$\frac{dy}{dx}=F(\frac{y}{x})$$

と表される微分方程式を同次形と呼ぶ。 この方程式は、 $$u=\frac{y}{x}$$と変数変換して、 解くことができる。

$$y=ux\qquad\rightarrow\qquad \frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}$$

より、 上の微分方程式を書き換えると、

$$u+x\frac{du}{dx}=F(u)$$

$$\frac{du}{dx}=\frac{F(u)-u}{x}$$

$$\int\frac{1}{F(u)-u}du = \int xdx+C$$

[例]

$$\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}+1$$

変数変換 $$u=\frac{y}{x}$$により、 $$\frac{dy}{dx} = u+x\frac{du}{dx}$$ であるから、与えられた微分方程式は次のように変形できる。

$$u+x\frac{du}{dx}=u+1 \qquad\rightarrow\qquad \int du = \int\frac{1}{x}dx$$

$$u=\log x+C$$

$$y=x(\log x+C)$$

ただし、任意の$C$は定数である。

図: $y=x(\log x+C)$