例題

1. $$\frac{dy}{dx}+y = 2$$

   $y'$について解くと、
   

   $$\frac{dy}{dx}=-y+2$$
   
   
   ここで、$w=y-2$と置くと、 $$\frac{dw}{dx}=\frac{dy}{dx}$$ であるから、
   
   $$\frac{dw}{dx}=-w \qquad\Rightarrow\qquad \frac{dw}{w}=-dx$$
   
   
   両辺を積分して、
   
   $$\int \frac{dw}{w}=-\int dx \quad\Rightarrow\quad \log w = -x+C$$
   
   
   $$\begin{eqnarray*} w &=& e^{-x+C}=e^Ce^{-x}=Ae^{-x}\\ y &=& Ae^{-x}+2 \end{eqnarray*}$$
   
   
   ただし、$A$は任意の定数

   図 2: $$y=Ae^{-x}+2$$

   
2. $$\frac{dy}{dx}+\frac{x}{y}=0$$
   $$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx}&=&-\frac{x}{y}\\ ydy &=& -xdx\quad\Rightarrow\quad\int ydy=-\int xdx\\ \frac{1}{2}y^2&=&-\frac{1}{2}x^2+C \end{eqnarray*}$$
   
   
   
   
   $$x^2+y^2 = A,\qquad(A=2C)$$
   
   
   ただし、$A$は任意の定数である。
3. $$\frac{dy}{dx}+y^2x=0$$
   $$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx}&=&-2y^2x\\ \frac{dy}{y^2} &=& -2x\quad\Righta... ...2\int x dx\\ -\frac{1}{y}&=& -x^2+C\\ y &=& \frac{1}{x^2-C} \end{eqnarray*}$$
   
   
   ここで、$C$は任意の定数である。

4. $$\frac{dy}{dx}=\frac{2y+x}{x}$$

   
   

   $$\frac{dy}{dx}=2\times\frac{y}{x}+1$$
   
   
   と変形できるので、 $y(x)=x\times u(x)$と変換する(同次型)。 このとき、 $y'(x)=x\times u'(x)+u(x)$であるから、
   
   $$x\frac{du}{dx}+u=2u+1 \quad \Rightarrow\quad\frac{du}{dx}=\frac{u+1}{x}$$
   
   
   
   
   $$\int\frac{du}{u+1}=\int\frac{dx}{x}\quad \Rightarrow\quad\log(u+1)=\log x+C$$
   
   
   
   
   $$u+1=e^{\log x+C}=xe^{C}=Ax$$
   
   
   
   
   $$y=x\times u=x(Ax-1)$$
   
   
   ただし、$A$は任意の定数

   図 3: $y=x(Ax-1)$