変数分離型

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を独立変数、を未知関数とするとき、

$\begin{displaymath} \frac{dy}{dx}=F(x)G(y) \end{displaymath}$

の形式をした微分方程式は、次のようにして解を得ることができる。

$\begin{displaymath} \frac{1}{G(y)}dy = F(x)dx \end{displaymath}$

$\begin{displaymath} \int\frac{1}{G(y)}dy = \int F(x)dx+C \end{displaymath}$

[例題]

$\begin{displaymath} \frac{dy}{dx}=2xy \end{displaymath}$

を解く。

$\begin{displaymath} \frac{1}{y}dy = 2x dx \end{displaymath}$

$\begin{displaymath} \int\frac{1}{y}dy = 2\int x dx \end{displaymath}$

$\begin{displaymath} \log\vert y\vert = x^2+C \end{displaymath}$

$\begin{displaymath} \vert y\vert = e^{x^2+C} \end{displaymath}$

$\begin{displaymath} y = A e^{x^2} \end{displaymath}$

ただし、

は積分定数(任意の定数)である。

平成15年11月3日